Ungleichung mit Betrag < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt die Ungleichung [mm] \vmat{ 3-\vmat{ x^{2}-1 } } [/mm] > 2? |
Ich schaffe es einfach nicht. Ich komme wenn es um beträge geht andauernd durcheinander und dachte ich versuche es einfach noch einmal. Wäre nett wenn ihr drüberschauen würdet und mir meine Fehler sagt (bzw. wenn ihr ein grundlegenden "problem" erkennt dann weißt mich bitte darauf hin).
Ich mache die aufgaben mal so wie ich es in alten übungsgruppen gesehen habe, mal sehen ob ich ankomme
1. [mm] 3-\vmat{ x^{2}-1 }\ge [/mm] 0
1.1
[mm] (x^{2}-1)\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\ge [/mm] 1 [mm] \wedge x\le [/mm] -1
[mm] 3-x^{2}+1 \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow [/mm] -2<x<2 [mm] \Rightarrow 1\le [/mm] x<2 [mm] \wedge -2
[mm] 3-x^{2}+1 [/mm] = [mm] 4-x^{2}>2 \Rightarrow x^{2}<2 \Rightarrow x<\wurzel{2} \wedge x>-\wurzel{2} \Rightarrow x\in[1,\wurzel{2})\cup x\in(-\wurzel{2},-1]
[/mm]
1.2
[mm] (x^{2}-1)<0 \Rightarrow [/mm] -1<x<1
[mm] 3+x^{2}-1=2+x^{2} \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow [/mm] -1<x<1
[mm] 3-(-x^{2}+1)=2+x^{2}>2\Rightarrow x^{2}>0 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow x\in(-1,1)
[/mm]
2. [mm] 3-\vmat{ x^{2}-1 }< [/mm] 0
2.1
[mm] (x^{2}-1)\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\ge [/mm] 1 [mm] \wedge x\le [/mm] -1
[mm] x^{2}-1-3=x^{2}-4<0 \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow [/mm] -2<x<2 [mm] \Rightarrow 1\le [/mm] x<2 [mm] \wedge -2
[mm] x^{2}-4>2 \Rightarrow x^{2}>6 \Rightarrow x<-\wurzel{6} \wedge x>\wurzel{6} \Rightarrow [/mm] Widerspruch
2.2
[mm] (x^{2}-1)<0 \Rightarrow [/mm] -1<x<1
[mm] -3-x^{2}+1=-2-x^{2}<0 \Rightarrow x^{2}>-2 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow [/mm] -1<x<1
[mm] -2-x^{2}>2\Rightarrow x^{2}<-4 \Rightarrow [/mm] dafür existiert kein [mm] x\in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow L={(-1,1)\cup[1,\wurzel{2})\cup(-\wurzel{2},-1]}={(-\wurzel{2},\wurzel{2})}
[/mm]
So, geschafft. lasst bitte eure kritikstürme auf mich los, ich werd noch verrückt mit diesen rechnungen!
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Hi, celeste,
Sch... äh schöne Aufgabe!
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt die Ungleichung [mm]\vmat{ 3-\vmat{ x^{2}-1 } }[/mm] > 2?
> Ich mache die aufgaben mal so wie ich es in alten
> übungsgruppen gesehen habe, mal sehen ob ich ankomme
>
> 1. [mm]3-\vmat{ x^{2}-1 }\ge[/mm] 0
> 1.1
> [mm](x^{2}-1)\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow x\ge[/mm] 1 [mm]\wedge x\le[/mm] -1
Muss heißen: x [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \vee [/mm] x [mm] \le [/mm] -1.
> [mm]3-x^{2}+1 \ge[/mm] 0 <=> [mm] x^{2}<4 [/mm]
[mm] x^{2} \le [/mm] 4
> -2<x<2
Und dann eben: -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2.
> [mm]\Rightarrow 1\le[/mm] x<2 [mm]\wedge -2
Richtig wäre: 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 [mm] \vee [/mm] -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -1.
> [mm]3-x^{2}+1[/mm] = [mm]4-x^{2}>2 \Rightarrow x^{2}<2 \Rightarrow x<\wurzel{2} \wedge x>-\wurzel{2} \Rightarrow x\in[1,\wurzel{2})\cup x\in(-\wurzel{2},-1][/mm]
Auch hier: [mm] \vee [/mm] statt [mm] \wedge [/mm] - sonst OK!
> 1.2
> [mm](x^{2}-1)<0 \Rightarrow[/mm] -1<x<1
> [mm]3+x^{2}-1=2+x^{2} \ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow x\in \IR \Rightarrow[/mm]
> -1<x<1
>
> [mm]3-(-x^{2}+1)=2+x^{2}>2\Rightarrow x^{2}>0 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow x\in(-1,1)[/mm]
Halt! Aufpassen! Aus [mm] x^{2} [/mm] > 0 folgt NICHT x [mm] \in \IR, [/mm] sondern nur:
x [mm] \in \IR [/mm] \ {0}
Daher Endergebnis für Fall 1.2: x [mm] \in [/mm] (-1 ; 1) \ {0} !
> 2. [mm]3-\vmat{ x^{2}-1 }<[/mm] 0
>
> 2.1
> [mm](x^{2}-1)\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow x\ge[/mm] 1 [mm]\wedge x\le[/mm] -1
Nicht [mm] \wedge [/mm] sondern [mm] \vee [/mm] (analog 1.1)
> [mm]x^{2}-1-3=x^{2}-4<0 \Rightarrow x^{2}<4 \Rightarrow[/mm] -2<x<2
Was'n nu kaputt? Bei 1.1 hast Du's doch noch richtig gemacht!
3 - [mm] x^{2} [/mm] + 1 < 0 <=> [mm] x^{2} [/mm] > 4 => x > 2 [mm] \quad \vee [/mm] x < -2
> [mm]\Rightarrow 1\le[/mm] x<2 [mm]\wedge -2
Nö; stattdesssen: x > 2 [mm] \vee [/mm] x < -2
> [mm]x^{2}-4>2 \Rightarrow x^{2}>6 \Rightarrow x<-\wurzel{6} \wedge x>\wurzel{6} \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch
Erstens: Wieder [mm] \vee [/mm] statt [mm] \wedge [/mm] und zweitens: Nun kein Widerspruch mehr, sondern:
x > [mm] \wurzel{6} \quad \vee [/mm] x < [mm] -\wurzel{6}
[/mm]
> 2.2
> [mm](x^{2}-1)<0 \Rightarrow[/mm] -1<x<1
> [mm]-3-x^{2}+1=-2-x^{2}<0 \Rightarrow x^{2}>-2 \Rightarrow x\in \IR \Rightarrow[/mm]
> -1<x<1
Analog 1.2: 3 + [mm] x^{2} [/mm] - 1 < 0 <=> [mm] x^{2} [/mm] + 2 < 0 Hier schon Widerspruch!
> dafür existiert kein [mm]x\in \IR[/mm]
Zufällig richtig!
> [mm]\Rightarrow L={(-1,1)\cup[1,\wurzel{2})\cup(-\wurzel{2},-1]}={(-\wurzel{2},\wurzel{2})}[/mm]
Richtig:
$L = ] [mm] -\infty [/mm] ; [mm] -\wurzel{6} [/mm] [ [mm] \quad \cup \quad ]-\wurzel{2} [/mm] ; 0 [ [mm] \quad \cup \quad [/mm] ] 0 ; + [mm] \wurzel{2} [/mm] [ [mm] \quad \cup \quad [/mm] ] + [mm] \wurzel{6} [/mm] ; [mm] +\infty [/mm] [$
Oh Mann: Was für eine Formel-Tipperei!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Celeste!
Ergänzend zu Zwerglein's Anmerkungen / Korrekturen hier mal eine zeichnerische Darstellung / Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mo 08.10.2007 | | Autor: | celeste16 |
alles klar. danke euch beiden!
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