Ungleichung m. gesuchter Menge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
| Aufgabe | Gesucht ist die Menge der komplexen Zahlen für die gilt:
[mm] \left| z^{-2} \right|\ \le\ \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \operatorname{z = x + jy}
[/mm]
[mm] x,y\in\IR\quad z\in\IC [/mm] |
Ich habe leider garkeine Ahnung wie ich an die Aufgabe herangehen soll, könnte mir jemand einen Tipp geben???
Liebe Grüße,
Torsten
P.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Torsten,
vllt. hilft dir für die Vereinfachung des Ausdrucks weiter, dass gilt:
[mm] $|z^m|=|z|^m$ [/mm] und [mm] $w^{-n}=\frac{1}{w^n}$
[/mm]
Das benutze mal und verwende dann die Definition des Betrags einer Komplexen Zahl...
Dann denke mal an Kreisgleichungen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
Danke, also deine beiden Tipps kannte ich ja schon, wäre schlimm wenn ich das nicht wissen würde ;)
Wäre die Zahl nicht komplex sondern Real dann wäre das Ergebnis für mich klar, wäre meiner Meinung nach erfüllt für alle z außerhalb des Intervall [-2..2]
Ich komme nur mit dem komplexen nicht zurecht, ich würde jetzt denken, dass der Imaginärteil null sein muss, also alle vielfachen von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] oder?
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> Danke, also deine beiden Tipps kannte ich ja schon, wäre
> schlimm wenn ich das nicht wissen würde ;)
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> Wäre die Zahl nicht komplex sondern Real dann wäre das
> Ergebnis für mich klar, wäre meiner Meinung nach erfüllt
> für alle z außerhalb des Intervall [-2..2]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber in der komplexen Ebene sind die $z$, die der Bedingung [mm] $2\leq [/mm] |z-0|$ genügen, eben diejenigen $z$, die von $0$ einen Abstand [mm] $\geq [/mm] 2$ haben, also die Punkte auf oder ausserhalb des Kreises mit Radius $2$ und Mittelpunkt $0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
Ok, danke erstmal, mit der bildlichen Vorstellung ist das ganze etwas klarer geworden...
Ich habe bis jetzt folgendes gemacht:
[mm] \bruch{1}{\left|z^{2}\right|}\leq\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \left|z^{2}\right|\geq4
[/mm]
[mm] \left|z\right|\geq \pm2
[/mm]
Daher für z>0 :
[mm] z\geq2
[/mm]
Und z<0 :
[mm] z\leq-2
[/mm]
Bis hierhin weiß ich meinen Weg mathematisch zu formulieren, doch dann weiß ich nicht weiter...
z = x +jy
wobei x dann auerhalb des Intervalls ]2;-2[ und y [mm] \in \IR [/mm] richtig?
doch wie formuliere ich das ganze mathematisch, so dass es vom Dozenten akzeptiert wird?
Sind meine vorhergehenden formulierungen korrekt?
Liebe Grüße,
Torsten
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Hallo nochmal,
z ist doch eine komplexe Zahl, da gibt nix mit z>2 oder z<-2
Auf [mm] $\IC$ [/mm] gibt's keine Anordnung.
Ich hatte doch in meiner ersten Anzwort die Tipps schon hingeschrieben
Du hast richtig umgeformt bis [mm] $|z^2|\ge [/mm] 4$
Dann der Tipp [mm] $|z^m|=|z|^m$
[/mm]
Das gibt [mm] $\red{|z|}^2\ge [/mm] 4$
Dann wie oben gesagt die Definition des Betrages einer komplexen Zahl $z=x+iy$ benutzen:
Das gibt: [mm] $\left[\red{\sqrt{x^2+y^2}}\right]^2\ge [/mm] 4$
Also [mm] $x^2+y^2\ge 4=2^2$ [/mm] - und das ist doch ne Kreis(un)gleichung
Also genau das äußere des Kreises (einschließlich Rand), den Somebody schon angesprochen hat
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
Achso, ok!
Vielen Dank für die guten und schnellen Antworten!!!
Ich hatte deinen ersten Tipp anders verstanden, bzw. nicht so verwendet...
Liebe Grüße,
Torsten
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