Ungleichung herleiten < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei
[mm]f:\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\IR,\ f(x)&=&-ln(cosx).[/mm]
Zeige, dass
[mm]\left| f(x) - \frac{x^2}{2}\right| \le \frac{2}{3}|x|^3,\ x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right].[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen.
Dies ist eine Aufgabe aus einer Übungsserie einer Analysis II-Vorlesung. Ich habe mir den Graphen der Fkt. angeschaut, da ich zuerst dachte, ich könne eine geometrische Interpretation des Betrages finden; aber das ist ja Unsinn, da es sich um einen Abstand zwischen einem Funktionswert und einem Punkt aus dem Def.-Bereich handeln würde. Ich weiss einfach nicht, wie man aus dieser Funktion überhaupt eine Ungleichung folgern kann. Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie man darauf kommt? Und: Ist das irgendwie eine berühmte oder besonders nützliche Ungleichung?
Gruss und Danke
Björn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mi 27.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr hattet doch sicher Taylorreihen?
dann entwickel doch mal f(x) und schätz dann ab.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke für den Tipp, ich habs mal versucht; dabei bin ich aber noch auf nichts wirklich Brauchbares gestossen. Soweit bin ich bis jetzt:
[mm]f(x) &=& -\ln(cosx) \qquad f'(x) &=& \frac{sinx}{cosx} &=& \tanx \qquad f''(x) &=& 1 + \tan^2x &=& \frac{1}{\cos^2x} \qquad f'''(x) &=& -\frac{2}{\cos^3x} \qquad f^{IV}(x) &=& \frac{6}{\cos^4x}[/mm]
und so weiter. Das Wichtige:
[mm]f^{n}(x) &=& (-1)^n \frac{(n-1)!}{\cos^nx}[/mm]
Nun habe ich das Ganze im Nullpunkt entwickelt und kriege damit:
[mm]f(0) &=& 0 \qquad f'(0) &=& 0 \qquad f''(0) &=& 1 \qquad f'''(0) &=& -2 \qquad f^{IV}(0) &=& 6\ ...\ und \quad f^{n}(0) &=& (-1)^n (n-1)![/mm]
Jetzt die Taylorreihe:
[mm]\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}x^k[/mm]
k=2 weil die f(0) und f'(0) beide null sind. Diese Reihe scheint mir allerdings nicht richtig; die Terme mit ungeraden Potenzen sollten ja wegfallen, weil der Graph symmetrisch ist; sieht jemand gerade den Fehler?
Danke und Gruss
Björn
|
|
|
| |
|
Danke. Ich habs nochmal versucht, diesmal mit dem Tangens statt Sinus durch Cosinus. Dann krieg ich wenigstens nur noch Polynome mit geraden Koeffizienten. Aber ganz schlau werd ich daraus immer noch nicht:
[mm]f'(x)=tanx \quad f''(x)=1+\tan^2x \quad f'''(x)=2\tanxf'' \quad f^{4}=2f''f'' + 2f'f''' \quad f^{5}=2f'''f'' + 2f''f''' + 2f''f''' + 2f'f^{4} \quad
f^{6}=8f''f^{4} + 6f'''f''' + 2f'f^{5} \quad
f^{7}=16f'''f^{4} + 2f'''f^{4} + 10f''f^{5}\quad
f^{8}=18f^{4}f^{4} + 28f'''f^{5} + 10f''f^{6}[/mm]
Damit:
[mm]f(0)=0 \quad f'(0)=0 \quad f''(0)=1 \quad f'''(0)=0 \quad f^{4}(0)=2 \quad f^{5}(0)=0 \quad f^{6}(0)= 16 \quad f^{7}(0)=0 \quad f^{8}(0)=232[/mm]
Da kann ich aber überhaupt keine Regelmässigkeit erkennen um aufs n-te Taylorpolynom zu kommen; ich vermute, dass ich mich wieder verrechnet habe und die 8te Ableitung in 0 256 ergeben sollte. f'' wäre dann [mm] 2^0, f^4= 2^1, f^6 [/mm] = [mm] 2^4, f^8 [/mm] = [mm] 2^8. [/mm] Da hab ich die n-te Ableitung bzw. das Taylorpolynom auch nicht rausgefunden. Von der zu zeigenden Ungleichung bin ich momentan wohl noch sehr weit entfernt 
Danke für weitere Hilfe
Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die vollständige Taylorreihe brauchst du doch nicht!
nur bis zum 2. Ordnung, [mm] x^2/2 [/mm] und Restglied! das Restglied schätzt du durch max f''' im gegebenen Intervall ab!
wenn du nicht weisst wie: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
Lagrange Restglied.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mo 02.07.2007 | | Autor: | polar_baer |
OK, jetzt sollte ich es hinkriegen. Herzlichen Dank auch!
Gruss
Björn
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Kettenregel