Ungleichung Zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie die Ungleichung [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}} [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+k}} [/mm] < 1 und folgern Sie aus dieser, dass [mm] (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+k}})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert. Geben Sie den Grenzwert an. |
Man soll hier keine Induktion machen, sondern eine Abschätzung, die als Beweis angesehen werden kann. Es soll helfen auf Summanden aufzuteilen. Leider komme ich damit nicht klar. Besonders macht mir das Summenzeichen Probleme, da ich noch nie n und k gleichzeitig dahinter stehen hatte. Wird jetzt nach n oder k aufsummiert oder beide??
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 So 13.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Zeigen Sie die Ungleichung [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm] <
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+k}}[/mm] < 1 und
> folgern Sie aus dieser, dass
> [mm](\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+k}})_{n\in\IN}[/mm]
> konvergiert. Geben Sie den Grenzwert an.
Versuchen wir es mit [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}<\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+k}}.
[/mm]
Es hilft, wenn man sich das so aufschreibt:
[mm] n\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}<\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}}+...+\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}.
[/mm]
An sich hat man links n Summanden (alle sind gleich [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}). [/mm] Rechts hat man auch n Summanden. Und der kleinste ist der letzte: [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}. [/mm] Alle anderen sind größer als [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}, [/mm] da bei jedem einzelnen der Nenner kleiner als [mm] \wurzel{n^{2}+n} [/mm] (der Zähler ist ja konstant 1). So hat man zu jedem Summanden auf der linken Seite einen midestens so großen Summanden auf der rechten gefunden. Ungleichung bewiesen.
Gruß,
dormant
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