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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Do 27.12.2007 | | Autor: | success |
Hi,
wie zeige ich [mm] ||x||_2 \le ||x||_1 \le \wurzel{n}||x||_2 [/mm] möglichst einfach?
Ich habe es mittels vollständiger Induktion gezeigt, aber das halte ich nicht für geschickt.
Hab versucht das jeweils zu quadrieren und dann mittels Summenzeichen aufzuschreiben und umzuformen, aber ich komme da auf keinen grünen Zweig.
z.B. so für den ersten Teil: [mm] ||x||_1^2=(\summe_{i=0}^{n}|x_i|)^2=\summe_{i=0}^{n}\summe_{j=0}^{n}(|x_i||x_j|)=???\ge \summe_{i=0}^{n}(x_i^2)=||x||_2^2
[/mm]
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> Hi,
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> wie zeige ich [mm]||x||_2 \le ||x||_1 \le \wurzel{n}||x||_2[/mm]
> möglichst einfach?
> Ich habe es mittels vollständiger Induktion gezeigt, aber
> das halte ich nicht für geschickt.
>
> Hab versucht das jeweils zu quadrieren und dann mittels
> Summenzeichen aufzuschreiben und umzuformen, aber ich komme
> da auf keinen grünen Zweig.
>
> z.B. so für den ersten Teil:
> [mm]||x||_1^2=(\summe_{i=0}^{n}|x_i|)^2=\summe_{i=0}^{n}\summe_{j=0}^{n}(|x_i||x_j|)=???\ge \summe_{i=0}^{n}(x_i^2)=||x||_2^2[/mm]
Was sollen denn die Fragezeichen? - das Ungleichheitszeichen gilt doch ganz klar:
[mm]||x||_1^2=(\summe_{i=0}^{n}|x_i|)^2=\summe_{i=0}^{n}\summe_{j=0}^{n}(|x_i||x_j|)\red{\ge \sum_{i=0}^n |x_i|\;|x_i|}=\summe_{i=0}^{n}(x_i^2)=||x||_2^2[/mm]
denn Du summierst ja dann nur noch über einen Teil der Indexpaare $(i,j)$ mit $i=j$. Da alle Summanden [mm] $\geq [/mm] 0$ sind, wird dadurch die Summe eher kleiner.
Zum Beweis von [mm] $\parallel x\parallel_1\leq \sqrt{n}\parallel x\parallel_2$ [/mm] kannst Du verwenden, dass für alle [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] gilt: [mm] $|x_i|\leq\parallel x\parallel_2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Fr 28.12.2007 | | Autor: | success |
Ja, du hast Recht, der erste Teil war wirklich schon so offensichtlich, dass kein Zwischenschritt notwendig ist.
Ich kann mit deinem Hinweis zum zweiten Teil nichts anfangen.
Die genannte Ungleichung ist offensichtlich, ja; aber was ist der Nutzen?
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> Ja, du hast Recht, der erste Teil war wirklich schon so
> offensichtlich, dass kein Zwischenschritt notwendig ist.
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> Ich kann mit deinem Hinweis zum zweiten Teil nichts
> anfangen.
> Die genannte Ungleichung ist offensichtlich, ja; aber was
> ist der Nutzen?
Stimmt, die Sache ist wohl nicht so einfach. Wie wärs statt dessen mit dieser Idee: die Ungleichung [mm] $\parallel x\parallel_1\leq \sqrt{n}\parallel x\parallel_2$ [/mm] als Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
[mm]|| \leq \parallel x\parallel_2\cdot \parallel y\parallel_2 [/mm]
für das Standardskalarprodukt $<x,y> := [mm] \sum_{i=1}^n x_i y_i$ [/mm] des [mm] $\IR^n$ [/mm] aufzufassen?
Die linke Seite wäre dann der Betrag des Skalarproduktes des Vektors mit den $n$ Komponenten $1$ und dem Vektor mit den $n$ Komponenten [mm] $|x_i|$. [/mm] Die rechte Seite wäre das Produkt der zugehörigen Normen dieser Vektoren (d.h. der Wurzeln aus den Skalarprodukten dieser Vektoren mit sich selbst).
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