Ungleichung Logarithmus/ Summe < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für $A,B > 0$ [mm] gilt:\\
[/mm]
[mm] $\frac{A}{B} \log \frac{1+B(n-1)}{1+Bn_{0}} \leq \sum \limits_{j=n_{0}}^{n} \frac [/mm] {A}{1+Bj} [mm] \leq \frac{A}{B} \log \frac{1+Bn}{1+B(n_{0}-1)}$ [/mm] |
Ich bin während des Beweises eines Satzes auf diese Ungleichung gestoßen und versuche seitdem, eine Quelle zu dieser oder einen eigenständigen Beweis zu formulieren. In dem Buch, in dem ich die Ungleichung (angewendet, nicht in Form eines eigenständigen Satzes) gefunden habe, wird nur auf 'usual inequalities between sums and integrals' verwiesen. Ich habe mal mit dem Bruch [mm] $\frac{A}{B}$ [/mm] multipliziert und konnte das $A$ somit aus der Fragestellung eliminieren. Hat jemand eine Ahnung wo diese Ungleichung herkommt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Der Faktor [mm]A[/mm] der Ungleichung ist überflüssig.
Es gilt
[mm]\int_{B \cdot n_0}^{B \cdot (n+1)} \frac{\mathrm{d}x}{1+x} \qquad \leq \qquad \sum_{j=n_0}^n \frac{B}{1 + B \cdot j} \qquad \leq \qquad \int_{B \cdot (n_0-1)}^{B \cdot n} \frac{\mathrm{d}x}{1+x}[/mm]
Denn zum linken Integral ist die Summe eine Obersumme, zum rechten eine Untersumme. Was nur noch irritiert, ist in deiner Ungleichung links das [mm]n-1[/mm]. Nach der Überlegung oben müßte da [mm]n+1[/mm] stehen.
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Hallo Leopold,
vielen Dank für deine Hilfe, so hab ich das noch gar nicht betrachtet. Das macht auf jeden Fall Sinn. :)
Zu deiner Überlegung, dass es es links $n+1$ statt $n-1$ heißen müsste: So wie ich das sehe, stimme ich dir zu, aber es gilt doch auf jeden Fall [mm] $\integral_{Bn_{0}}^{B(n-1)} \frac{\mathrm{d}x}{1+x} \leq \integral_{Bn_{0}}^{B(n+1)}\frac{\mathrm{d}x}{1+x}$, [/mm] oder? Kleineres Integral, kleinerer Wert? Insofern müsste ja die Ungleichung trotzdem gelten.
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Ja, die Ungleichung gilt auch so, ist aber unnötig unscharf. Vermutlich ein Druckfehler. Wenn mit der Ungleichung weitergerechnet wird, kann man ja herausfinden, zu welcher Form der Ungleichung die Rechnung paßt.
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