Ungleichung Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Sa 01.11.2008 | | Autor: | martin2 |
| Aufgabe | [mm] 2(n+1)n^{n}\le(n+1)^{n+1}
[/mm]
für n-->n+1 halt
[mm] 2(n+2)(n+1)^{n+1}\le(n+2)^{n+2} [/mm] |
Also der IA ist klar. für n=1 ergibt sich [mm] 24\le27
[/mm]
nun gehe ich (der tipp war binomialentwicklung) wie foglt vor.
[mm] 2(n+2)(n+1)^{n+1}=2(n+2)\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^{n+1-k}1^{k}
[/mm]
da [mm] 1^{k}=1 [/mm] für alle k folgt, wenn ich die 2 in die summe ziehe
[mm] =(n+2)\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}n^{n+1-k}2
[/mm]
nun würde ich gerne sagen [mm] 2\le2^{k} [/mm] für k>0 aber der fall k=0 stört da..
jetzt ist klar dass der fall k=0 immer kompensiert wird durch den fall k=n oder k=n [mm] \wedge [/mm] k=n-1 oder k=n [mm] \wedge [/mm] k=n-1 [mm] \wedge [/mm] k=n-2 usw..
nur wie zeige, sage ich das?
wenn ich 2 durch [mm] 2^{k} [/mm] ersetzen könnte, würde ich nämlich das [mm] \le [/mm] Zeichen verwenden und die summe wieder als binom umformen, dann hätte ich
[mm] (n+2)(n+2)^{n+1}
[/mm]
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Hallo Martin,
du kannst die Induktion komplett umgehen, wenn du die Beh. äquivalent umformst und dann den Tipp anwendest:
[mm] $2(n+1)n^n\le(n+1)^{n+1}\gdw 2n^n\le (n+1)^n$
[/mm]
Dann einfach auf die rechte Seite den Tipp anwenden [mm] $(n+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}n^{n-k}=\blue{n^n+n\cdot{}n^{n-1}}+\underbrace{\vektor{n\\2}n^{n-2}+.....+\vektor{n\\n-1}n+1}_{> 0}>\blue{n^n+n\cdot{}n^{n-1}}=2n^n$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Sa 01.11.2008 | | Autor: | martin2 |
danke für die fixe antwort :)
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