Ungleichung Beweis < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Beweise: Für jede reelle Zahl $x \ge 0$ und jede natürliche Zahl $n\ge 2$ gilt
$(1+x)^{n} \ge \frac{n^{2}x^{2}}{4}$ |
Hallo,
Bernoulli:
$(1+n)^{t}\ge 1+nt$ $\forall n \in \IR \ge -1 \wedge t \in \IN \ge 0$
$\frac{nx}{2}\le 1+\frac{nx}{2} \le (1+x)^{\frac{n}{2}}}$
$\Rightarrow $(1+x)^{n}\ge \frac{n^{2}x^{2}}{4}$
Ist das so richtig und auch richtig aufgeschrieben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hi,
> Beweise: Für jede reelle Zahl [mm]x \ge 0[/mm] und jede natürliche
> Zahl [mm]n\ge 2[/mm] gilt
>
> [mm](1+x)^{n} \ge \frac{n^{2}x^{2}}{4}[/mm]
> Hallo,
>
> Bernoulli:
> [mm](1+n)^{t}\ge 1+nt[/mm] [mm]\forall n \in \IR, \green{n} \ge -1 \wedge t \in \IN, \green{t} \ge 0[/mm]
Es kann passieren, dass [mm] n/2\notin\IN [/mm] (siehe nachfolgender Beweis), deswegen zitiere lieber den auf reelle Exponenten verallgemeinerten Bernoulli.
>
> Daher [mm]\frac{nx}{2}\le 1+\frac{nx}{2} \le (1+x)^{\frac{n}{2}}}[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow $(1+x)^{n}\ge \frac{n^{2}x^{2}}{4}$[/mm]
Sonst ok
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
> Es kann passieren, dass (siehe nachfolgender Beweis), deswegen zitiere lieber > den auf reelle Exponenten verallgemeinerten Bernoulli.
Ok,
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 So 13.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit dem binomischen Satz gilt:
[mm] (1+x)^n \ge \vektor{n \\ 2}x^2
[/mm]
Überlege noch, dass [mm] \vektor{x \\ y} \ge n^2/4 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 ist
Edit: ich meinte natürlich: [mm] \vektor{n \\ 2} \ge n^2/4 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo fred,
> $ [mm] (1+x)^n \ge \vektor{n \\ 2}x^2 [/mm] $
OK.
> $ [mm] \vektor{x \\ y} \ge n^2/4 [/mm] $
Fehlt hier etwas?? Wenn man x=1 und y=1 einsetzt und n=2 dann gibt beides 1 aber x=1 y=1 und n=3 stimmt ja nicht mehr...
> FRED
Danke.
Gruss
kushkush
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> Hallo fred,
>
>
> > [mm](1+x)^n \ge \vektor{n \\ 2}x^2[/mm]
>
> OK.
>
> > [mm]\vektor{x \\ y} \ge n^2/4[/mm]
>
> Fehlt hier etwas?? Wenn man x=1 und y=1 einsetzt und n=2
> dann gibt beides 1 aber x=1 y=1 und n=3 stimmt ja nicht
> mehr...
Er meinte mit [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] natürlich [mm] \vektor{n \\ 2}
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
ist dieser Beweis richtig?
$0 [mm] \le [/mm] 2n(n-2)$ folgt aus Voraussetzung [mm] $n\ge [/mm] 2$
[mm] $\Rightarrow 0\le 2n^{2}-4n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2n^{2}\le 4n^{2}-4n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2!\cdot n^{2}\le [/mm] 4n(n-1)$
[mm] $\Rightarrow \frac{n^{2}}{4}\le \frac{n(n-1)}{2!}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\vektor{n \\ 2}$
[/mm]
Danke!!
Gruss
kushkush
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> Hallo,
>
>
> ist dieser Beweis richtig?
einwandfrei!
>
> [mm]0 \le 2n(n-2)[/mm] folgt aus Voraussetzung [mm]n\ge 2[/mm]
> [mm]\Rightarrow 0\le 2n^{2}-4n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2n^{2}\le 4n^{2}-4n[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2!\cdot n^{2}\le 4n(n-1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{n^{2}}{4}\le \frac{n(n-1)}{2!}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\vektor{n \\ 2}[/mm]
>
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Ok, Danke.
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo fred,
> >
> >
> > > [mm](1+x)^n \ge \vektor{n \\ 2}x^2[/mm]
> >
> > OK.
> >
> > > [mm]\vektor{x \\ y} \ge n^2/4[/mm]
> >
> > Fehlt hier etwas?? Wenn man x=1 und y=1 einsetzt und n=2
> > dann gibt beides 1 aber x=1 y=1 und n=3 stimmt ja nicht
> > mehr...
> Er meinte mit [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] natürlich [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm]
Danke, so ist es
FRED
>
> Gruß
>
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