Ungleichung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Di 06.11.2007 | | Autor: | eddifix |
hi man soll die ungleichung für alle natürlichen zahlen n beweisen:
[mm] (\bruch{n^2+2}{n^2})^{n^2} [/mm] < 8
leider fehlt mir ein genereller ansatz
kann mir jmd ein tip geben
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Di 06.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo eddifix!
Einserseits schreit das ja fast nach einer vollständigen Induktion.
Man kann hier aber auch wie folgt umformen und am Ende substituieren $k \ := \ [mm] n^2$ [/mm] :
[mm] $$\left(\bruch{n^2+2}{n^2}\right)^{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n^2}{n^2}+\bruch{2}{n^2}\right)^{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{2}{n^2}\right)^{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{2}{k}\right)^{k}$$
[/mm]
Nun sollte man noch wissen, dass gilt: [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{x}{k}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Gruß
Loddar
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