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| Aufgabe | Seien $x,y > 0$ und $t [mm] \in [/mm] [0,1]$. Zeigen Sie
[mm] $\log[(1-t)x+ty] \, \geq (1-t)\log(x)+t\log(y)$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich tue mich gerade schwer diese Ungleichung zu zeigen, die sich ja im Grunde auf diese reduzieren lässt:
$(1-t)x+ty [mm] \geq x^{1-t} \cdot y^t$
[/mm]
Ich weiß, dass diese Ungleichung stimmt (erinnert mich auch an das arithm-geometrische Mittel), aber irgendwie kriege ich nur sehr schlechte Abschätzungen hin, die mir nicht weiterhelfen.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 So 27.04.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo JoeSunnex,
die zu beweisende Ungleichung zeigt, dass die natürliche Logarithmusfunktion konkav ist. Falls ihr schon Konkavitätskriterien kennt, ist die Aufgabe einfach (z.B. muss man dann nur einfach f'<0 zeigen).
Man kann auch mit der ![[]](/images/popup.gif) Jensenschen Ungleichung angewendet auf den Logarithmus beweisen:
[mm] log(\lambda_1 x_1+...+\lambda_n x_n)\ge \lambda_1 log(x_1)+...+\lambda_n log(x_n)\forall \lambda_1,...\lambda_n>0 [/mm] mit [mm] \lambda_1+...+\lambda_n=1, x_1,...,x_n\in\IR_{>0}
[/mm]
Mit [mm] e^{log(\lambda_1 x_1+...+\lambda_n x_n)}\ge e^{\lambda_1 log(x_1)+...+\lambda_n log(x_n)} [/mm] folgt [mm] \lambda_1 x_1+...+\lambda_n x_n \ge x_1^{ \lambda_1}+...+x_n^{\lambda_n}.
[/mm]
Und nur so als Tipp (ich habe den Tipp noch nicht zuende gedacht), manchmal lässt sich auch eine Abschätzung über ein Integral bilden in der Art:
[mm] log((1-t)x+ty)=-\int_{(1-t)x+ty}^1 \frac{1}{z}dz
[/mm]
Wie gesagt: Ich habe das noch nicht zuende gedacht, ob es zielführend ist.
LG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Di 29.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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