Unendliche W-Räume / [0,1] < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Sie wählen eine zufällige Zahl a aus [0,1] und streichen jede zweite Dezimalziffer, beginnend bei der ersten Ziffer nach dem Komma:
aus a= 0,835693... wird 0,363...
i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl höchstens gleich [mm]\bruch{1}{5}[/mm]?
ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl gleich [mm]\bruch{1}{10}[/mm]?
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Hallo!
Also ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme... ich würde erstmal folgendes definieren
[mm]\Omega = [0,1] [/mm]
[mm]A= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega \le 0,2 \right\} [/mm] für i)
[mm]B= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega = 0,1 \right\} [/mm] für ii)
unser Prof hatte in nem Beispiel mal angegeben dass man dann in folgendem Wahrscheinlichkeitsraum rechnen muss ([0,1],B,L) Wobei das B die Borel'sche Algebra ist, aber was das L ist weiß ich nicht.
Meine erste Frage, warum kann ich nicht in ([0,1],A,P) rechnen also mit der sigmaalgebra???
Und dann fehlt mir jetzt auch jeder weitere Ansatz wie ich mit dieser Aufgabe umgehen soll...
Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
Liebe Grüße
Mary
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> Sie wählen eine zufällige Zahl a aus [0,1] und streichen
> jede zweite Dezimalziffer, beginnend bei der ersten Ziffer
> nach dem Komma:
> aus a= 0,835693... wird 0,363...
>
> i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl
> höchstens gleich [mm]\bruch{1}{5}[/mm]?
>
> ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl
> gleich [mm]\bruch{1}{10}[/mm]?
>
> Hallo!
> Also ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme... ich
> würde erstmal folgendes definieren
> [mm]\Omega = [0,1][/mm]
> [mm]A= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega \le 0,2 \right\}[/mm]
> für i)
> [mm]B= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega = 0,1 \right\}[/mm] für
> ii)
> unser Prof hatte in nem Beispiel mal angegeben dass man
> dann in folgendem Wahrscheinlichkeitsraum rechnen muss
> ([0,1],B,L) Wobei das B die Borel'sche Algebra ist, aber
> was das L ist weiß ich nicht.
> Meine erste Frage, warum kann ich nicht in ([0,1],A,P)
> rechnen also mit der sigmaalgebra???
> Und dann fehlt mir jetzt auch jeder weitere Ansatz wie ich
> mit dieser Aufgabe umgehen soll...
> Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
> Liebe Grüße
> Mary
Hallo Mary,
verstehe ich das richtig: a ist eine reelle Zahl aus einer
Gleichverteilung im Intervall [0;1), wobei man annehmen
darf, dass alle unendlich vielen Nachkommastellen in
[mm] \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} [/mm] gleichverteilt sind (das hat dann
allerdings den kleinen Nachteil, dass die Zahlen mit abbre-
chenden Dezimaldarstellungen auf zwei Arten dargestellt
werden können, nämlich mit einem Nullen- oder aber
mit einem Neuner-"Schwanz"), was aber für die vorlie-
gende Aufgabe unerheblich sein sollte.
Wenn wir nun in der angegebenen Weise jede zweite
Dezimalstelle herausstreichen, haben wir doch nach dieser
Operation genau wieder eine analoge Zahl a' mit unendlich
vielen, gleichverteilten Dezimalziffern. Also sind auch die
so entstehenden Zahlen a' gleichverteilt auf dem Intervall.
Da gibt's dann gar nicht viel zu rechnen ...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
muss man dann also mit geometrischen Wkeiten rechnen ?
Also
[mm] P(A)=\frac{\lambda([0,1/5])}{\lambda([0,1])}=\frac{1/5}{1}=1/5
[/mm]
[mm] P(B)=\frac{\lambda({0,1})}{\lambda([0,1])}=\frac{0}{1}=0 [/mm]
wobei [mm] \lambda [/mm] das 1-dim Lebesgue-Maß auf [mm] \IR [/mm] ist.
Oder wie soll das funktionieren ?
LG
Fry
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> Hallo,
>
> muss man dann also mit geometrischen Wkeiten rechnen ?
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> Also
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> [mm]P(A)=\frac{\lambda([0,1/5])}{\lambda([0,1])}=\frac{1/5}{1}=1/5[/mm]
>
> [mm]P(B)=\frac{\lambda({0,1})}{\lambda([0,1])}=\frac{0}{1}=0[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda[/mm] das 1-dim Lebesgue-Maß auf [mm]\IR[/mm] ist.
Hallo Fry,
genau so dachte ich mir das.
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Äh Fly... was meinst du mit geometrischer Wahrscheinlichkeit...
und Al-Chwarizmi danke für deine Antwort...
aber mehr als das was in der Aufgabenstellung steht weiß ich dazu leider auch nicht... aber das was du mit der gleichverteilung schreibst ist anzunehmen...
nur muss ich das mit dem rausstreichen ja noch irgendwie in meine Mengen aufnehmen, oder? Wie mach ich denn dass... und ich muss dann ja irgendwie ne wahrscheinlichkeit angeben... da weiß ich auch nicht wie... also das mit dem gleichverteilt hilft mir leider nicht weiter... steh in stochastik noch ganz am anfang...
liebe grüße
mary
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> Äh Fly... was meinst du mit geometrischer
> Wahrscheinlichkeit...
> und Al-Chwarizmi danke für deine Antwort...
> aber mehr als das was in der Aufgabenstellung steht weiß
> ich dazu leider auch nicht... aber das was du mit der
> gleichverteilung schreibst ist anzunehmen...
Da dort nur "zufällig aus [0;1]" stand, ist das wohl
anzunehmen, obwohl ich mir in einer akademischen
Umgebung wünschen würde, dass die Art der zugrunde
gelegten Wahrscheinlichkeitsverteilung eigentlich
angegeben werden sollte !
> nur muss ich das mit dem rausstreichen ja noch irgendwie
> in meine Mengen aufnehmen, oder? Wie mach ich denn dass...
Die Sache mit dem Herausstreichen jeder zweiten Ziffer
ist nur ein kleiner "Trick", die Aufgabe etwas schwieriger
aussehen zu lassen, als sie wirklich ist ...
Wie ich schon beschrieben habe, hast du mit oder ohne
dieses Herausstreichen genau dieselbe Grundmenge
und auch die gleichen Wahrscheinlichkeiten.
> und ich muss dann ja irgendwie ne wahrscheinlichkeit
> angeben... da weiß ich auch nicht wie... also das mit dem
> gleichverteilt hilft mir leider nicht weiter... steh in
> stochastik noch ganz am anfang...
> liebe grüße
> mary
Zum Thema "geometrische Wahrscheinlichkeit" findest du
bestimmt im Netz ein paar erhellende Seiten.
Gruß Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Hi...
ich glaub es hat bei mir gerattert... *g*
wir haben das mit dem Längenmaß gemacht...
und dann ist L(A)=([0, 0,2]) = 0,2
und L(B)=([0,1 , 0,1]) = 0
Aber die Wahrscheinlichkeit von B kann doch garnicht Null sein...
weil als Gegenbeispiel... ich wähle einfach die Zahl 0,111
Oder???
Viele Grüße
Mary
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> Hi...
> ich glaub es hat bei mir gerattert... *g*
> wir haben das mit dem Längenmaß gemacht...
> und dann ist L(A)=([0, 0,2]) = 0,2
> und L(B)=([0,1 , 0,1]) = 0
> Aber die Wahrscheinlichkeit von B kann doch garnicht Null
> sein...
> weil als Gegenbeispiel... ich wähle einfach die Zahl
> 0,111
> Oder???
> Viele Grüße
> Mary
Hallo Mary,
ja, das scheint irgendwie paradox ! Jede einzelne, absolut
exakt festgelegte Zahl a im Intervall [0;1] bildet eine
Menge [mm] \{a\}=[a;a] [/mm] mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß Null.
Alle reellen Zahlen a mit $\ [mm] 0\le [/mm] a [mm] \le1$ [/mm] zusammen bilden
aber das Intervall [0;1] mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß Eins.
Das hängt damit zusammen, dass das Intervall so wie die
Menge [mm] \IR [/mm] der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.
Der Begriff des "Maßes" einer Menge ist also nicht in allen
Fällen "anschaulich" verständlich.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Also ist es aber richtig wenn ich schreibe, dass L(B)=0 ist?!
Und kann ich das irgendwie erklären... also da die Menge überabzählbar unendlich ist und der abstand aber 0... oder sowas?
Sonst bekomm ich nachher wieder nur 2 von 5 Punkten :-(
Dank dir!
Viele Grüße
Mary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 08.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Mary,
kannst schreiben:
L(B)=0, da B abzählbar ist
Allgemein gilt für Intervalle der Form (a,b), [a,b] usw.
L((a,b))=L([a,b])=...=b-a
und daraus würde sich ja auch obiges ergeben.
Gruß
Fry
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> Also ist es aber richtig wenn ich schreibe, dass L(B)=0
> ist?!
> Und kann ich das irgendwie erklären... also da die Menge
> überabzählbar unendlich ist und der abstand aber 0...
> oder sowas?
Hallo Mary,
Die Menge B (mit dem einzigen Element 0.1) ist
natürlich nicht überabzählbar.
Das Lebesgue-Maß einer Menge, die aus nur einem
Punkt, endlich vielen Punkten oder abzählbar
unendlich vielen Punkten von [mm] \IR [/mm] oder von [mm] \IR^n
[/mm]
besteht, ist stets gleich Null.
Oder andersrum gesagt: erst Mengen aus überab-
zählbar vielen Punkten haben ein positives Lebesgue-
Maß.
LG Al-Chw.
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