Uneigentliches R-Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Fr 28.02.2014 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Keine Aufgabenstellung, meine Vermutung:
Die Linearität, Monotonie, Additivität des Integrationsintervalls gilt für uneigentliche Riemann-Integrale genauso wie für eigentliche Riemann-Integrale. |
Zum Beispiel die Monotonie:
Falls f(x)<=M für alle x [mm] \in [/mm] (a,b) gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}<=(b-a)*M
[/mm]
Beweis:
Hier kommt der entscheidende Punkt bei dem ich mir (diese Problematik habe ich bei Abschätzungen öfters) nicht sicher bin. Darf ich den Limes ignorieren, da er außerhalb des Integrals steht?
[mm] \limes_{x,y\rightarrow\(a,b}( \integral_{x}^{y}{f(x) dx}) [/mm] <= [mm] \limes_{x,y\rightarrow\(a,b}(\integral_{x}^{y}{M dx})
[/mm]
Analog könnte man die anderen Sachen machen.
Falls das so in Ordnung geht würde ich generell gerne wissen. Wenn ich einen Klammerausdruck habe:
A(B) Und es gelten gewisse Aussagen für B. Darf ich diese dann Anwenden, weil ja A außerhalb der Klammer steht, oder muss ich gewisse Eigenschaften von A berücksichtigen?
|
|
| |
|
Hiho,
> Keine Aufgabenstellung, meine Vermutung:
> Die Linearität, Monotonie, Additivität des Integrationsintervalls gilt für uneigentliche Riemann-Integrale genauso wie für eigentliche Riemann-Integrale.
Solange die einzelnen uneigentlichen Integrale existieren, ja.
> Zum Beispiel die Monotonie:
> Falls f(x)<=M für alle x [mm]\in[/mm] (a,b) gilt: [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}<=(b-a)*M[/mm]
Das ist ja nicht allgemein die Monotonie, sondern die Monotonie mit der konstanten Funktion $g(x) = M$.
Und auch die gilt natürlich nur, wenn die einzelnen (uneigentlichen) Riemann-Integrale existieren.
Das gilt bei deinem Beispiel eben nur, falls $a,b [mm] \in \IR$
[/mm]
Bei uneigentlichen Integralen sind ja aber eben gerade auch Ausdrücke der Form
[mm] $\int_a^\infty [/mm] f(x) dx$
interessant. Und da stimmt deine Abschätzung nicht mehr.
Trotzallem gilt die Monotonie eben auch für uneigentliche Integrale unter oben genannten Bedingungen.
Desweiteren solltest du bei deiner Schreibweise aufpassen, du schriebst:
[mm] $\limes_{x,y\rightarrow\(a,b}$
[/mm]
dabei musst du erstmal erklären, was du mit dieser Schreibweise überhaupt meinst. Laufen x und y gleichzeitig oder unabhängig?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Fr 28.02.2014 | | Autor: | havoc1 |
Hallo,
ja natürlich meine ich a und b aus [mm] \IR. [/mm] Das habe ich vergessen zu erwähnen.
Hm wie meine ich das mit dem Limes...Eine gute Frage. Eigetlich spaltet man bei zwei kritischen Grenzen das Integral auf. (So ist das hier eigentlich auch gemeint.)
Rein aus Interesse: Was würde es für einen Unterschied machen, wenn x und y gleichzeitig bzw. einzeln laufen? In wie weit hätte das noch was mit einem uneigentlichem Integral zu tun.
Ist mein Beweis (abgesehen von der schludrigen Schreibweise) korrekt?
Und auch immernoch interessiert es mich, wie man mit Ausdrücken der Form A(B) umgeht. Darf ich mit B arbeiten als wäre A nicht da? Denn wo wäre sonst z.B. der nutzen, wenn man den Limes aus einem Integral ziehen kann.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Hm wie meine ich das mit dem Limes...Eine gute Frage.
> Eigetlich spaltet man bei zwei kritischen Grenzen das
> Integral auf. (So ist das hier eigentlich auch gemeint.)
Ja, d.h. die Grenzwerte müssen eben unabhängig voneinander existieren.
> Rein aus Interesse: Was würde es für einen Unterschied machen, wenn x und y gleichzeitig bzw. einzeln laufen?
Ja.
Laufen beide Grenzen gleichzeitig, könnten sich der Zuwachs auf beiden Seiten des Integrals gerade aufheben, nimm beispielsweise eine ungerade Funktion f, dann gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \integral_{-n}^n [/mm] f(x) dx = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 0 = 0$
> In wie weit hätte das noch was mit einem uneigentlichem Integral zu tun.
Rein technisch nichts mehr.
> Ist mein Beweis (abgesehen von der schludrigen Schreibweise) korrekt?
Naja, bis auf die Tatsache, dass du deinen Schritt nicht wirklich begründen kannst, stimmt er.
Du nutzt eben aus, dass für zwei Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] gilt:
[mm] $a_n \le b_n \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n \le \lim_{n\to\infty} b_n$
[/mm]
Das ist Analysis I.
> Und auch immernoch interessiert es mich, wie man mit
> Ausdrücken der Form A(B) umgeht. Darf ich mit B arbeiten
> als wäre A nicht da? Denn wo wäre sonst z.B. der nutzen,
> wenn man den Limes aus einem Integral ziehen kann.
Hier musst du noch einmal erklären, was du wirklich mit A(B) meinst, wo der Limes steht und wovon er abhängt.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 01.03.2014 | | Autor: | havoc1 |
Ah, wenn die Grenzen nicht unabhängig laufen, spricht man dann nicht vom cauchyschen Hauptwert?
Mit A(B) meine ich (ich kann mich dabei nicht so gut ausdrücken, hatte keine Logik), dass man einen Term B hat und einen Operator A (damit meine ich z.B den Limes). Darf man dann mit B arbeiten als wäre A nicht da? Beispiel:
Es gelte für eine Funktionenfolge folgende Beziehung
[mm] \integral_{a}^{b}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}
[/mm]
Darf ich nun so mit dem Integral arbeiten, als wäre überhaupt kein Limes vorhanden?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ah, wenn die Grenzen nicht unabhängig laufen, spricht man dann nicht vom cauchyschen Hauptwert?
Ja.
> Mit A(B) meine ich (ich kann mich dabei nicht so gut
> ausdrücken, hatte keine Logik), dass man einen Term B hat
> und einen Operator A (damit meine ich z.B den Limes). Darf
> man dann mit B arbeiten als wäre A nicht da?
Sofern der Operator die entsprechenden Eigenschaften wie Monotonie, Linearität etc mitbringt, ja.
> Es gelte für eine Funktionenfolge folgende Beziehung
> [mm]\integral_{a}^{b}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}[/mm]
>
> Darf ich nun so mit dem Integral arbeiten, als wäre überhaupt kein Limes vorhanden?
Du kannst natürlich erst einmal das Integral gesondert betrachten, ob die Ungleichungen etc. dann aber auch nach Anwendung des Operators gelten, hängt vom Operator ab!
Beispielsweise liefert dir eine Abschätzung < nicht zwangsweise auch nach Anwendung des Grenzwerts ein <, sondern nur ein [mm] $\le$.
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hier:
> [mm]\limes_{x,y\rightarrow\(a,b}( \integral_{x}^{y}{f(x) dx})[/mm]
solltest Du die Grenze nicht so bezeichnen, wie die Integrationsvariable (bei
[mm] $dx\,$ [/mm] macht's auch wohl keinen Sinn, $x [mm] \to [/mm] a$ laufen zu lassen). Du
meinst sowas
[mm] $\limes_{\substack{x \to a\\y \to b}}( \integral_{x}^{y}{f(\red{t}) d\red{t}}),$
[/mm]
und auch anstatt
[mm] $\limes_{x,y\rightarrow\(a,b}$
[/mm]
benutzt Du besser
[mm] $\lim_{(x,y) \to (a,b)}$ [/mm] oder [mm] $\lim_{\footnotesize{\vektor{x\\y}\to \vektor{a\\b}}}$
[/mm]
oder, wie ich finde, am besten
[mm] $\limes_{\substack{x \to a\\y \to b}}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\lim_{x \to a,\;y \to b}$ (=$\lim_{x \to a \text{ und }y \to b}$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
