Uneigentliches Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
| Aufgabe | Berechne:
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} dx} [/mm] |
Hab leider keine Ahnung wie man das berechnen soll? Hab die Funktion mal am Rechner gezeichnet und sehe das das wohl ein uneigentliches Integral sein soll, dass bei -2 und +2 undefiniert ist.
[mm] \limes_{x\rightarrow2} \integral_{0}^{2}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} dx}=
[/mm]
Ist das hierzu der richtige Ansatz also lim x gegen 2 laufen lassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 So 14.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo newday!
Das ist nicht ganz richtig so ... Du musst hier für die eine Integrationsgrenze eine neue Variable festlegen und diese dann gegen 2 laufen lassen:
[mm] $$\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\red{t}\rightarrow2} \integral_{0}^{\red{t}}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
laut einem Kollegen soll das folgendermaßen funktionieren:
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx} [/mm] =
[mm] \limes_{{x\rightarrow2}} \integral_{0}^{{x}}{\bruch{t}{\wurzel{4-t^2}} \ dx} [/mm] =
subst. [mm] u=4-t^2
[/mm]
dt=du/-2t
[mm] x=4-b^2
[/mm]
[mm] \limes_{{b\rightarrow2-0}} \integral_{4}^{{4-b^2}}{\bruch{1}{-2*\wurzel{u}} \ du} [/mm] =
bin aber ehrlich gesagt ratlos, wie man dazu kommt? also [mm] 4-x^2 [/mm] wird u substituiert, okay nur woher kommt das t? bzw. warum bekommt das integral die grenze 4 bis [mm] 4-b^2 [/mm] im späteren verlauf? würd mich schon mal intressieren...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich sollte man direkt sehen dass da beinahe [mm] f'/\wurzel{f} [/mm] steht, was die Ableitung von [mm] \wurzel{f} [/mm] ist mit [mm] f(x)=4-x^2
[/mm]
natürlich kann man substituieren, dann muss man die Grenzen mit substituieren!
Aber da gehen die Bezeichnungen zu sehr durcheinander
> laut einem Kollegen soll das folgendermaßen funktionieren:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx}[/mm] =
>
> [mm]\limes_{{x\rightarrow2}} \integral_{0}^{{x}}{\bruch{t}{\wurzel{4-t^2}} \ dx}[/mm]
hier müsste nicht dx sondern dt stehen. aber warum erst x in t umtaufen?
erstmal [mm] mm]\integral_{0}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx}[/mm]
[/mm]
statt b jeder andere Buchstabe ausser x. später b gegen 2.
> =
>
> subst. [mm]u=4-t^2[/mm]
dann subst: [mm] u=4-x^2
[/mm]
du=-2x*dx
und für x=b [mm] u=4-b^2
[/mm]
ab jetzt gehts bei dir mit b und t so durcheinander, dass ich denke du hast da was völlig unverstanden und deshalb falsch abgeschrieben.
probiers mal selbst!
> dt=du/-2t
> [mm]x=4-b^2[/mm]
>
> [mm]\limes_{{b\rightarrow2-0}} \integral_{4}^{{4-b^2}}{\bruch{1}{-2*\wurzel{u}} \ du}[/mm]
> =
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
[mm] \integral_{0}^{{2}}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx}=
[/mm]
[mm] \limes_{{b\rightarrow2-0}} \integral_{0}^{{b}}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx} [/mm] =
Heißt [mm] b\rightarrow2-0 [/mm] es geht gegen 2 bis 0 oder 2-0 oder nur 2?
subst.:
[mm] u=4-x^2
[/mm]
du=-2x*dx
[mm] \limes_{{b\rightarrow2-0}} \integral_{0}^{{b}}{\bruch{x}{\wurzel{u}} \ du} [/mm] =
nun subst.:
x=b
[mm] \limes_{{b\rightarrow2-0}} \integral_{0}^{{b}}{\bruch{b}{\wurzel{u}} \ -2b*db} [/mm] =
[mm] ({\bruch{0}{\wurzel{u}} \ -2*0})-({\bruch{2}{\wurzel{u}} \ -2*2})=
[/mm]
= [mm] -({\bruch{2}{\wurzel{4-x^2}} \ -4})=
[/mm]
[mm] =({\bruch{2}{\wurzel{4-x^2}} \ +4})
[/mm]
Ist ja auch völliger Unsinn oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mo 15.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\integral_{0}^{{2}}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{{b\rightarrow2-0}} \integral_{0}^{{b}}{\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}} \ dx}[/mm]
> =
>
> Heißt [mm]b\rightarrow2-0[/mm] es geht gegen 2 bis 0 oder 2-0 oder
> nur 2?
es geht gegen 2 aber nur von unten also 1,98, 1,99 1,999 usw und nicht [mm]b\rightarrow2+0[/mm] von oben also 2,01 2,001 2,0001 usw.
>
>
> subst.:
> [mm]u=4-x^2[/mm]
> du=-2x*dx
>
> [mm]\limes_{{b\rightarrow2-0}} \integral_{0}^{{b}}{\bruch{x}{\wurzel{u}} \ du}[/mm]
> =
hier ist das x im Integral falsch.
im Integra stand ausser der Wurzel x*dx du brauchst du setzest ein:dx=du/(-2x) dann hast du im Integral
[mm] \bruch{x}{\wurzel{u}}*du/(-2x)=-1/2*\bruch{1}{\wurzel{u}}*du
[/mm]
> nun subst.:
> x=b
das ist wirklich Unsinn! solange du x hattest ging das Integral von 0 bis b
jetzt hast du u dann musst du statt x=b [mm] u=4-b^2 [/mm] als obere Grenze nehmen und statt x=0 als untere Grenze u=4-0°2=4
insgesamt hast du also :
[mm] -1/2*\integral_{4}^{4-b^2}{\bruch{1}{\wurzel{u}} du}
[/mm]
jetzt das Integral in den Grenzen lösen aber für u und dann die Grenzen für u einsetzen. erst dann b gegen 2.
Wenn du nach dem Integrieren wieder x einsetzt für u sind die Grenzen auch wieder 0 und b.
Also für dich ein besserer Rat:
löse das Integral erst mal ohne Grenzen, d.h. einfach ne Stammfunktion! die schreib mit x auf. Dann betrachte die Stammfkt F(x) und bilde F(b)-F(0) davon dann b gegen 2-
Hast du noch nie ein Integral mit Substitution gelöst?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 Mo 15.12.2008 | | Autor: | newday |
wieso kommt überhaupt das u in die integralgrenzen? ich dachte die ist 2, dann b ("b" nähert sich von links der 2 an) und jetzt dann [mm] u=4-x^2??
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo newday!
Durch die durchgeführte Substitution musst Du selbstverständlich auch die entsprechenden Integrationsgrenzen anpassen / ersetzen.
Wenn Dir das unklar sein sollte, kannst Du das genannte Integral zunächst als unbestimmtes Integral lösen (wie bereits von leduart vorgeschlagen).
Gruß
Loddar
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