Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Do 29.01.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Berechnen Sie - falls möglich - das uneigentliche Integral [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{x}{x^{2}-1} dx} [/mm] |
Hallo Leute, also es handelt sich ja um ein uneigentliches Integral erster Art mit einer Polstelle bei x=1. Beim Betrachten des Integrals schien mir das Substitutionsverfahren zur Lösung des Integrals am sinnvollsten zu sein:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{x}{x^{2}-1} dx}
[/mm]
[mm] t=x^{2}-1
[/mm]
[mm] x=g(t)=\wurzel{t+1}=(t+1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] g'(t)=\bruch{1}{2}*(t+1)^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{t+1}}{t}}*\bruch{1}{2}*(t+1)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] dt
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{(t+1)^{\bruch{1}{2}}*(t+1)^{-\bruch{1}{2}}}{2*t}} [/mm] dt [mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{2*t}} dt=\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ \bruch{1}{t}} [/mm] dt
[mm] =\bruch{1}{2}*ln(t)=\bruch{1}{2}*ln(x^{2}-1)
[/mm]
So, nun ist das Integral bestimmt. Jetzt kommt die Grenzbetrachtung
[mm] \integral_{\varepsilon}^{2}{\bruch{x}{x^{2}-1} dx} \to \varepsilon>0
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*ln(x^{2}-1) =3-\bruch{1}{2}*ln(\varepsilon^{2}-1)
[/mm]
[mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow0} 3-\bruch{1}{2}*ln(\varepsilon^{2}-1)
[/mm]
Der Ausdruck [mm] ln(\varepsilon^{2}-1) [/mm] müsste gegen [mm] -\infty [/mm] streben, wenn [mm] \varepsilon [/mm] gegen 1 strebt. Somit lässt sich kein Integral bestimmen. Stimmt das soweit? Hätte ich vielleicht bei der Bestimmung des Integrals ein anderes Verfahren wählen sollen, oder anders substituiren sollen? Oder passt das so?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Do 29.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie - falls möglich - das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{x}{x^{2}-1} dx}[/mm]
> Hallo Leute, also
> es handelt sich ja um ein uneigentliches Integral erster
> Art mit einer Polstelle bei x=1. Beim Betrachten des
> Integrals schien mir das Substitutionsverfahren zur Lösung
> des Integrals am sinnvollsten zu sein:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{x}{x^{2}-1} dx}[/mm]
>
> [mm]t=x^{2}-1[/mm]
>
> [mm]x=g(t)=\wurzel{t+1}=(t+1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]g'(t)=\bruch{1}{2}*(t+1)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{t+1}}{t}}*\bruch{1}{2}*(t+1)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> dt
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{(t+1)^{\bruch{1}{2}}*(t+1)^{-\bruch{1}{2}}}{2*t}}[/mm]
> dt [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2*t}} dt=\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ \bruch{1}{t}}[/mm]
> dt
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*ln(t)=\bruch{1}{2}*ln(x^{2}-1)[/mm]
>
> So, nun ist das Integral bestimmt. Jetzt kommt die
> Grenzbetrachtung
>
> [mm]\integral_{\varepsilon}^{2}{\bruch{x}{x^{2}-1} dx} \to \varepsilon>0[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*ln(x^{2}-1) =3-\bruch{1}{2}*ln(\varepsilon^{2}-1)[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz.
[mm] $\integral_{\varepsilon}^{2}{\bruch{x}{x^{2}-1} dx} [/mm] = 1/2(ln(3) [mm] -1/2ln(\varepsilon^2-1))$ [/mm] --> [mm] \infty [/mm]
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow0} 3-\bruch{1}{2}*ln(\varepsilon^{2}-1)[/mm]
>
> Der Ausdruck [mm]ln(\varepsilon^{2}-1)[/mm] müsste gegen [mm]-\infty[/mm]
> streben, wenn [mm]\varepsilon[/mm] gegen 1 strebt. Somit lässt sich
> kein Integral bestimmen. Stimmt das soweit? Hätte ich
> vielleicht bei der Bestimmung des Integrals ein anderes
> Verfahren wählen sollen, oder anders substituiren sollen?
> Oder passt das so?
Sonst passt es
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Do 29.01.2009 | | Autor: | Owen |
Danke für die Korrektur.
|
|
|
|
