Unbestimmtes Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Hokes |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um eine typische Anwendung des Residuensatzes auf das folgende unbestimmte Integral:
Gegeben ist das uneigentliche Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{P(x)}{Q(x)} dx} [/mm] mit den Polynomen P und Q, wobei grad Q [mm] \ge [/mm] grad P+2. Weiterhin habe Q keine reelle Nullstellen.
WIESO EXISTIERT DIESES INTEGRAL?
Dass man mit dem Majorantenkriterium (für uneigentliche Integrale) rauskriegt, dass [mm] |\bruch{P(x)}{Q(x)}| \le \bruch{M}{|x|^{2}} [/mm] für große x (M>0), das leuchtet mir schon ein. ABER diese Majorante ist doch eigentlich (also FÜR ALLE x zwischen [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty) [/mm] nicht erlaubt (oder?), weil [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{M}{x^\alpha} dx} [/mm] für kein [mm] \alpha \ge [/mm] 1 existiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Fr 11.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Es geht um eine typische Anwendung des Residuensatzes auf
> das folgende unbestimmte Integral:
>
> Gegeben ist das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{P(x)}{Q(x)} dx}[/mm] mit den
> Polynomen P und Q, wobei grad Q [mm]\ge[/mm] grad P+2. Weiterhin
> habe Q keine reelle Nullstellen.
> WIESO EXISTIERT DIESES INTEGRAL?
>
> Dass man mit dem Majorantenkriterium (für uneigentliche
> Integrale) rauskriegt, dass [mm]|\bruch{P(x)}{Q(x)}| \le \bruch{M}{|x|^{2}}[/mm]
> für große x (M>0), das leuchtet mir schon ein.
Gut.
> ABER
> diese Majorante ist doch eigentlich (also FÜR ALLE x
> zwischen [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty)[/mm] nicht erlaubt (oder?), weil
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{M}{x^\alpha} dx}[/mm] für
> kein [mm]\alpha \ge[/mm] 1 existiert.
Ja, das stimmt. Aber es ist ja auch keine Majorante fuer alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Definiere $f(x) := [mm] \begin{cases} \frac{M}{x^2} & \text{falls } |x| > C \\ M' & \text{sonst} \end{cases}$ [/mm] fuer $C > 0$, $M' > 0$ passend. (Auf $[-C, C]$ ist [mm] $\frac{P(x)}{Q(x)}$ [/mm] als stetige Funktion beschraenkt, etwa durch $M'$, und $C$ waehlt man so dass [mm] $|\frac{P(x)}{Q(x)}| \le \frac{M}{|x|^2}$ [/mm] gilt fuer $|x| > C$.)
Dann ist $f$ eine Majorante, und es gilt [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-\infty}^C \frac{M}{(-x)^2} [/mm] dx + [mm] \int_{-C}^C [/mm] M' dx + [mm] \int_C^\infty \frac{M}{x^2} [/mm] dx$, was wegen $C > 0$ endlich ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Hokes |
Hi.
Danke für die schnelle Lösung!
MfG
Hokes
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