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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:32 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Christopf |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in kein anderes Forum im Internet gestellt.
Mein gegebenes Integral [mm] ist:\integral_{-1}^{1}{f(1/\wurzel{-x}) dx} [/mm] und der limes x -> 0+0 |
Meine
1. Frage: Was bedeutet 0+0. Muss man das so schreiben oder
reicht da auch limes x -> 0
2. Frage Wie legt man so ein Grenzwert fest. Ob man nun
limes x -> [mm] \infty [/mm] oder limes x-> 0 oder limes x -> 0+0
nutzt (betrachtet
3. Frage Wie wird das berechtnet. Ich bekomme mit dem
Taschenrechner im genannten Fall 2 und laut unterlagen
kommt da 6 raus
Danke
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> Mein gegebenes Integral
> [mm]ist:\integral_{-1}^{1}{f(1/\wurzel{-x}) dx}[/mm] und der limes x -> 0+0
Meine (al-Ch.) Fragen:
1.) Ist die Funktion f gegeben ? Oder was weiss man von ihr ?
2.) der Limes wovon ist gesucht ???
und eine erste Antwort: nach meiner Meinung
macht das angegebene Integral gar keinen Sinn,
da im Integranden jedenfalls auch Wurzeln aus
negativen Werten auftreten würden !
> Meine
>
> 1. Frage: Was bedeutet 0+0. Muss man das so schreiben oder
> reicht da auch limes x -> 0
Damit ist wohl ein einseitiger (rechtsseitiger) Limes für
x gegen 0 gemeint (bei dem nur positive x berück-
sichtigt werden).
Man schreibt dafür auch z.B. [mm] \limes_{x\downarrow 0} [/mm]
> 2. Frage Wie legt man so einen Grenzwert fest. Ob man nun
> limes x -> [mm]\infty[/mm] oder limes x-> 0 oder limes x -> 0+0
> nutzt (betrachtet)
Man könnte einen solchen Grenzwert eventuell
berechnen, falls eine konkrete Funktion f gegeben
wäre.
> 3. Frage Wie wird das berechnet. Ich bekomme mit dem
> Taschenrechner im genannten Fall 2 und laut Unterlagen
> kommt da 6 raus
Ich kann gar nichts rechnen, da du keine Funktion
vorgegeben hast, die man tatsächlich integrieren
könnte.
Wenn du etwas konkretes gerechnet hast, so lass'
es uns bitte wissen ...
LG
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Hallo
Wie geschrieben heißt die Funktion (1/ [mm] \wurzel{-x} [/mm] mit den Grenzen b=4 und a=-1. Enschuldigung für den Schreibfehler im letzten Artikel
Ich habe lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 [mm] \integral_{-1}^{-\varepsilon}{f(1/\wurzel{-x}) dx} [/mm] - lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 [mm] \integral_{-1}^{-\varepsilon}{f((-1)^1/2) dx}= [/mm] lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 [mm] \integral_{-1}^{\varepsilon}{f((z)^(1/4)) dz} [/mm] = lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 -[2z^(1/2)] = lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 [mm] -(2*\wurzel{\varepsilon} [/mm] - [mm] 2*\wurzel{1} [/mm] = 2
Z ist entstanden durch Substitution z= -x, z´= -1 dz
Meine Frage zu diesen Lösungsansatz ist, warum dort [mm] -\varepsilon [/mm] und nicht [mm] \varepsilon. [/mm] Weil ja der Wert für den [mm] \varepsilon [/mm] eingesetzt wurde 4 ist und dieser Wert ist ja positiv. Den Rest habe ich verstanden. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand die Kleinigkeit erklären kann
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> Hallo
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> Wie geschrieben heißt die Funktion (1/ [mm]\wurzel{-x}[/mm] mit den
> Grenzen b=4 und a=-1. Enschuldigung für den Schreibfehler
> im letzten Artikel
Ich verstehe das ganze immer noch nicht besser als vorher.
Vielleicht meinst du ja [mm] f(x)=1/\wurzel{-x} [/mm] und suchst ein Integral
der Form
[mm] \integral_a^b [/mm] f(x) dx
Dann ist aber die Schreibweise
[mm] \integral_a^b f\left(\bruch{1}{\wurzel{-x}}\right) [/mm] dx definitiv falsch !
Haben a und b verschiedene Vorzeichen haben, ist aber weder
das eine noch das andere Integral definiert, da im Integranden
auch Wurzeln aus negativen Werten auftreten würden.
Ich kann nur mutmassen, was die eigentliche Aufgabe war !
Vielleicht:
[mm] \integral_{-1}^4 \bruch{1}{\wurzel{|x|}} [/mm] dx = ?
?????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Deine Vermutung liegt richtig. Kanst du meine rechnung kontrollieren. Umnd meine Frage wegen das [mm] \varepsilon [/mm] erklären
Danke
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Hallo Christopf,
mit der Klärung des zu bestimmenden Integrals weiter unten kann man deine Rechnung nun checken 
> Hallo
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> Wie geschrieben heißt die Funktion (1/ [mm]\wurzel{-x}[/mm] mit den
> Grenzen b=4 und a=-1. Enschuldigung für den Schreibfehler
> im letzten Artikel
>
> Ich habe lim [mm]x\mapsto[/mm] 0+0
Was heißt denn das? [mm] $\lim x\to [/mm] 0+0$ ?
> [mm] \integral_{-1}^{-\varepsilon}{f(1/\wurzel{-x}) dx} [/mm] - lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 [mm] \integral_{-1}^{-\varepsilon}{f((-1)^1/2) dx}= [/mm]
lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 [mm] \integral_{-1}^{\varepsilon}{f((z)^(1/4)) dz} [/mm]
= lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 -[2z^(1/2)] = lim [mm] x\mapsto [/mm] 0+0 [mm] -(2*\wurzel{\varepsilon} [/mm] - [mm] 2*\wurzel{1}= [/mm] 2
>
>
> Z ist entstanden durch Substitution z= -x, z´= -1 dz
>
> Meine Frage zu diesen Lösungsansatz ist, warum dort
> [mm]-\varepsilon[/mm] und nicht [mm]\varepsilon.[/mm] Weil ja der Wert für
> den [mm]\varepsilon[/mm] eingesetzt wurde 4 ist und dieser Wert ist
> ja positiv. Den Rest habe ich verstanden. Ich würde mich
> freuen, wenn mir jemand die Kleinigkeit erklären kann
Also das [mm] $\varepsilon$ [/mm] wurde wohl als $>0$ vorausgesetzt, also ist [mm] $-\varepsilon<0$ [/mm] die obere Grenze unterhalb von 0
Die Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}$ [/mm] hat ja in Null eine Def.lücke, also lässt du beim unteren Integral die obere Grenze gegen 0 gehen und beim unteren die untere Grenze gegen 0
Also ist doch wohl [mm] $\lim\limits_{x\to 0}$ [/mm] falsch.
Du betrachtest vielmehr [mm] $\lim\limits_{\red{\varepsilon}\to 0}\int\limits_{-1}^{-\varepsilon}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}$
[/mm]
und beim anderen Integral [mm] $\lim\limits_{\red{\varepsilon}\to 0}\int\limits_{\varepsilon}^{4}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}$
[/mm]
Also hast du 2 uneingentliche Integrale
Zum anderen ist doch das "-" zwischen den Integralen falsch.
Es ist [mm] $\int\limits_{-1}^4{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}=\int\limits_{-1}^0{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \int\limits_{0}^4{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}$
[/mm]
Dein "Geschreibsel" von oben kann ich nicht recht lesen (Voeschaufunktion benutzen --> ggfs. bearbeiten und den Formeleditor benutzen!)
Aber den Wert 2, den du da am Schluss stehen hast, ist jedenfalls der Wert des ersten (uneigenlichen) Integrals.
Das andere berechne nochmal, also [mm] $\int\limits_{0}^4{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{\varepsilon}^4{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}$
[/mm]
Der Wert des Gesamtintegrals ergibt sich dann wie oben steht als Summe der beiden (uneigentlichen) Teilintegrale
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | hallo
Besteht die Möglichkeit das du mir meine gegeben Funktion mal komplett durchrechnest. Laut deiner Reaktion habe ich Fehler in meiner Schreibweise. Ich würde das gerne vergleichen mit meinen Unterlagen. Ich brache das vielleicht für meine Prüfung.
Danke |
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
ja, die besteht
Zu berechnen ist $\int\limits_{-1}^{4}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}$
Das kannst du wegen der Additivität der Integrale schreiben als
$\int\limits_{-1}^{4}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}+\int\limits_{0}^{4}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}$
Da der Integrand, also $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$, in 0 eine Definitionslücke hat, sind die beiden Integrale uneigentliche Integrale
Sei also $\varepsilon>0$
Dann betrachten wir $\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\int\limits_{-1}^{-\varepsilon}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}+\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\int\limits_{\varepsilon}^{4}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}$
Soweit ok.
Beim ersten Integral sind wir in den negativen x, also ist $|x|=-x$, im anderen im positiven Bereich, also $|x|=x$
Damit: $=\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\int\limits_{-1}^{-\varepsilon}{\frac{1}{\sqrt{-x}} \ dx}+\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\int\limits_{\varepsilon}^{4}{\frac{1}{\sqrt{x}} \ dx}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\int\limits_{-1}^{-\varepsilon}{(-x)^{-\frac{1}{2}}} \ dx}+\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\int\limits_{\varepsilon}^{4}{x^{-\frac{1}{2}}} \ dx}$
$=\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(\left[-2\sqrt{-x}\right]_{-1}^{-\varepsilon}\right) \ + \ \lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(\left[2\sqrt{x}\right]_{\varepsilon}^{4}\right)$
$=\lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(-2\sqrt{\varepsilon}+2\sqrt{1}\right) \ + \ \lim\limits_{\varepsilon\to 0^{+}}\left(2\sqrt{4}-2\sqrt{\varepsilon}\right)$
$=(-2\sqrt{0}+2) \ + \ (2\cdot{}2-2\sqrt{0})=2+4=6$
LG
schachuzipus
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