Unabhängigkeit von Ereignissen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mo 12.05.2014 | | Autor: | clemenum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Im Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega=\{0,1\}^n$ mit der Gleichverteilung $P$ seien die Ereignisse $A_j = \{(\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n) \in \Omega| \omega_j =1\}$ für $1\le j \le n$ und $A_{n+1} =\{(\omega_1,\ldots, \omega_n)\in\Omega| \sum_{i=1}^{n}\omega_i$ ist gerade $\}$ gegeben. Man zeige, dass $A_1,\ldots, A_n$ abhängig sind, aber jeweils $n$ dieser $n+1$ Ereignisse unabhängig sind. |
Für die Unabhängigkeit muss ich zeigen, dass $P(A_1 \cap A_2 \ldots \cap A_n )=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdots P(A_n)$ ist.
Offebbar gilt $P(A_1 \cap A_2 \ldots \cap A_n )=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdots P(A_n) = \{(\omega_1,\omega_2,\ldots, \omega_n)\in \Omega: \omega_j = 1 \forall j\}.$ Offenbar gilt nun $P(A_1 \cap A_2 \ldots \cap A_n )=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdots P(A_n)) = 1/2^n$ und $P(A_1)\cdots P(A_n)= 1/2*1/2*...*1/2=1/2^n$, was die Unabhängigkeit der Ereignisse $A_1,\ldots,A_n$ beweist. Wir betrachten nun o.B.d.A. den Schnitt $A_2\cap A_3 \ldots A_n \cap A_{n+1}=: S$ Es ist offenbar $P(A_{n+1})= \frac{1}{2^{2k}},$ wobei $k=1,...\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor $ und $P(A_2)P(A_2)\ldots P(A_{n})=\frac{1}{2^{n-1}}.$ Also ist das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten gleich $\frac{1}{2^{(n-1) + \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor } .$ Die Menge $A_2\cap \A_3\ldots \cap A_n$ enthält genau $n-1$ Einser. Da die $n-$te Menge den Einser an der n-ten Stelle nicht unbedingt verlangt, ist die Parität von A_{n+1} sicher nicht von den vorherigen Mengen beeinflusst und deswegen ist die Wahrscheinlichkeit $P(S)$ so groß wie das Produkt der Wahrscheinlichkeiten...
Frage: Wo liegt mein Fehler?
Ich wäre für einen Fehlerhinweis sehr dankbar.
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Hiho,
> Für die Unabhängigkeit muss ich zeigen, dass [mm]P(A_1 \cap A_2 \ldots \cap A_n )=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdots P(A_n)[/mm] ist.
Das ist schon falsch.
Das ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Für Unabhängigkeit von n Ereignissen muss viel mehr gelten.
Das ändert aber nichts daran, dass [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] unabhängig sind. Du sollst aber sicher zeigen, dass [mm] $A_1,\ldots,A_{n+1}$ [/mm] abhängig sind.
> Wir betrachten nun o.B.d.A. den Schnitt [mm]A_2\cap A_3 \ldots A_n \cap A_{n+1}=: S[/mm]
Ok.
> Es ist offenbar [mm]P(A_{n+1})= \frac{1}{2^{2k}},[/mm] wobei [mm]k=1,...\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor[/mm]
Das ist Blödsinn. Wie soll ein und daselbe Ereignis mehrere Wahrscheinlichkeiten haben? Du musst dich schon auf ein k festlegen.
> Die Menge [mm]A_2\cap \A_3\ldots \cap A_n[/mm] enthält genau [mm]n-1[/mm] Einser.
Die Aussage ist ebenfalls falsch. Die obige Menge enthält Tupel und keine Einser. Um genau zu sein enthält obige Menge 2 Elemente. Welche?
> Frage: Wo liegt mein Fehler?
Einige hab ich dir aufgezeigt.
Gruß,
Gono.
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