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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:44 So 15.04.2012 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Seien X und Y unabhängige zum Parameter [mm] \lambda=1 [/mm] exp-verteilte Zufallsvariablen auf [mm] \IR. [/mm] Seien Z=min(X,Y) und W=max(X,Y) definiert.
a) Man zeige, dass Z und W-Z unabhängig exp-verteilt.
b) Man bestimme bedingte Dichte der Bedingten Verteilung [mm] \mathcal{P}^{W|Z=x}. [/mm] |
Hallo!!
Ich bräuchte Eure Hilfe bei der Aufgabe.
Ich habe zuerst die folgende Verteilung ausgerechnet:
[mm] \mathcal{P}\{Z>x, W\leq y\}=\mathcal{P}\{x
Somit ist die gemeinsame Verteilung von [mm] F(x,y)=\mathcal{P}\{Z,W\}=\mathcal{P}\{W\leq x\}-\mathcal{P}\{W\leq x, Z>y\}=(1-exp(-x))^2-(exp(-x)-exp(-y))^2.
[/mm]
Weiter definiere ich eine Funktion h(x,y)=(x, y-x).
Dann ist doch meine gemeinsame Verteilung von Z und W-Z:
[mm] F(h(x,y))=(1-exp(-x))^2-(exp(-x)-exp(-y+x))^2.
[/mm]
Hier liegt mein Problem: Ich habe versucht das auf verschiede Art und Weise zu verformen, kriege aber nicht das gewünschte.
Wäre super wenn mir jemand helfen würde....
Vielen Dank im Voraus
Beste Grüße
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Hallo,
> Seien X und Y unabhängige zum Parameter [mm]\lambda=1[/mm]
> exp-verteilte Zufallsvariablen auf [mm]\IR.[/mm] Seien Z=min(X,Y)
> und W=max(X,Y) definiert.
> a) Man zeige, dass Z und W-Z unabhängig exp-verteilt.
> b) Man bestimme bedingte Dichte der Bedingten Verteilung
> Hallo!!
> Ich bräuchte Eure Hilfe bei der Aufgabe.
> Ich habe zuerst die folgende Verteilung ausgerechnet:
> [mm]\mathcal{P}\{Z>x, W\leq y\}=\mathcal{P}\{x
> wegen Unabhängigkeit von X und Y.
> Somit ist die gemeinsame Verteilung von
> [mm]F(x,y)=\mathcal{P}\{Z,W\}=\mathcal{P}\{W\leq x\}-\mathcal{P}\{W\leq x, Z>y\}=(1-exp(-x))^2-(exp(-x)-exp(-y))^2.[/mm]
Ich glaube, statt x muss im ersten Summanden ein y stehen. Es gehört doch bei dir $x$ zu Z und $y$ zu W, oder?
Um mich nicht zu verwirren, habe ich die Variablen anders benannt:
[mm] $\IP(Z \le [/mm] z, W [mm] \le [/mm] w) = [mm] (1-e^{-w})^2 [/mm] - [mm] (e^{-z} [/mm] - [mm] e^{-w})^2$.
[/mm]
Darauf komme ich. Dadurch würde sich auch dein Ergebnis unten ändern.
> Weiter definiere ich eine Funktion h(x,y)=(x, y-x).
> Dann ist doch meine gemeinsame Verteilung von Z und W-Z:
> [mm]F(h(x,y))=(1-exp(-x))^2-(exp(-x)-exp(-y+x))^2.[/mm]
Kennst du zufällig den Namen dieses Satzes oder eine Referenz,
wo ich den sehen kann? (Also diese Umwandlung der Verteilungfunktion nach einer linearen Transformation)
Wenn nicht das Gewünschte rauskommt (Sollte ja ein Produkt von zwei Verteilungsfunktionen der Exponentialverteilung sein), würde ich hier am ehesten einen Fehler vermuten.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 17.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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