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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | | Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie die folgende Aussage mit Induktion: Sind [mm] A_1, [/mm] . . . , [mm] A_n [/mm] ∈ A unabhängige Ereignisse und [mm] B_i [/mm] ∈ [mm] \{A_i, A^{C}_i \} [/mm] für alle 1 ≤ i ≤ n, dann sind die Ereignisse [mm] B_1, [/mm] . . . , [mm] B_n [/mm] unabhängig. |
Also, es ist für mich kein Problem einzusehen, dass es für zwei Mengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A^C_2 [/mm] bzw [mm] A^C_1 [/mm] und [mm] A^C_2 [/mm] gilt.
Aber wie geht es weiter?
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Hallo,
> Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie die
> folgende Aussage mit Induktion: Sind [mm]A_1,[/mm] . . . , [mm]A_n[/mm] ∈ A
> unabhängige Ereignisse und [mm]B_i[/mm] ∈ [mm]\{A_i, A^{C}_i \}[/mm] für
> alle 1 ≤ i ≤ n, dann sind die Ereignisse [mm]B_1,[/mm] . . . ,
> [mm]B_n[/mm] unabhängig.
> Also, es ist für mich kein Problem einzusehen, dass es
> für zwei Mengen [mm]A_1[/mm] und [mm]A^C_2[/mm] bzw [mm]A^C_1[/mm] und [mm]A^C_2[/mm] gilt.
>
> Aber wie geht es weiter?
Im Grunde genauso, wie du es beim Induktionsanfang gezeigt haben solltest!
Du kannst weiterhin so vorgehen.
Du machst nun eine Induktion über die Anzahl der [mm] B_{i} [/mm] --> n,
Und dann in dieser Induktion eine "abbrechende" Induktion über k = Anzahl der Komplemente, die in den [mm] B_{i} [/mm] sind.
k = 1:
[mm] (A_{1}^{c}, A_{2}, [/mm] ..., [mm] A_{n})
[/mm]
(o.E. können die natürlich so nummeriert werden). Dann ist:
[mm] $P(A_{1}^{c}\cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n} [/mm] ) + [mm] P(A_{1} \cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n}) [/mm] = [mm] P(A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n})$
[/mm]
(Ereignis + Gegenereignis = gesamte Menge [mm] \Omega [/mm] ).
Nun weißt du nach Induktionsvoraussetzung (bzw. allgemeiner Voraussetzung), dass du die rechten beiden P(...) faktorisieren kannst:
[mm] $\Rightarrow P(A_{1}^{c}\cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n} [/mm] ) + [mm] P(A_{1})*P(A_{2})*...*P(A_{n}) [/mm] = [mm] P(A_{2})*...*P(A_{n})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow P(A_{1}^{c}\cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n} [/mm] ) = [mm] P(A_{2})*...*P(A_{n}) [/mm] - [mm] P(A_{1})*P(A_{2})*...*P(A_{n})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow P(A_{1}^{c}\cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n} [/mm] ) [mm] =(1-P(A_{1}))*P(A_{2})*...*P(A_{n})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow P(A_{1}^{c}\cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n} [/mm] ) [mm] =P(A_{1}^{c})*P(A_{2})*...*P(A_{n})$
[/mm]
Nun für k > 1 ähnlich arbeiten!
Grüße,
Stefan
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