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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 15.01.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Kurvenlänge von [mm] \gamma [/mm] 1 = (sin(t)(1+cos(t)),cos(t)(1+ cos(t)) in den Grenzen [mm] 0,2\pi
[/mm]
Hinweis: [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel (1 + cos(t)) dt} [/mm] = 4 * [mm] \wurzel [/mm] 2 |
Ich habe nun vergeblich versucht die abgeleitete Gamma1 Funktion in die Form [mm] \wurzel [/mm] (1 + cos(t)) zu bringen. Ich weiß nicht mehr weiter.
Die Ableitung von Gamma 1 müsste folgende sein:
= ((2cos²(t) + cos(t) - 1),-sin(t)(1+2cos(t)))
Durch Produktregel und geschicktes Umstellen bin ich dazu gekomen, da ich für die Kurvenlänge die Komponenten quadrieren und dann die Wurzel ziehen muss komme ich auf einen ziemlich langen Term den es nun um zu stellen gibt. Daran scheitere ich.
Die Aufgabe stammt aus Analysis II, ist aber eher ein Problem das man theoretisch in der 12 Klasse lösen kann, bei mir sitzt es gerade nur irgendwie fest.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen sie die Kurvenlänge von [mm]\gamma[/mm] 1 =
> (sin(t)(1+cos(t)),cos(t)(1+ cos(t)) in den Grenzen [mm]0,2\pi[/mm]
>
> Hinweis: [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel (1 + cos(t)) dt}[/mm] = 4
> * [mm]\wurzel[/mm] 2
> Ich habe nun vergeblich versucht die abgeleitete Gamma1
> Funktion in die Form [mm]\wurzel[/mm] (1 + cos(t)) zu bringen. Ich
> weiß nicht mehr weiter.
>
> Die Ableitung von Gamma 1 müsste folgende sein:
>
> = ((2cos²(t) + cos(t) - 1),-sin(t)(1+2cos(t))) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Durch Produktregel und geschicktes Umstellen bin ich dazu
> gekomen, da ich für die Kurvenlänge die Komponenten
> quadrieren und dann die Wurzel ziehen muss komme ich auf
> einen ziemlich langen Term den es nun um zu stellen gibt.
> Daran scheitere ich.
Na, lass dich mal nicht abschrecken.
Rechne alles sorgfältig aus, ersetze dann das entstehende [mm]\sin^2(t)[/mm] durch [mm]1-\cos^2(t)[/mm]
Das gibt einen schön langen Term mit [mm]\cos^4, \cos^3,\cos^2[/mm] drin, die sich aber netterweise allesamt wegheben.
Zur Kontrolle:
bei mir bleibt [mm]2+2\cos(t)=2(1+\cos(t))[/mm] (ohne die Wurzel)
>
>
> Die Aufgabe stammt aus Analysis II, ist aber eher ein
> Problem das man theoretisch in der 12 Klasse lösen kann,
> bei mir sitzt es gerade nur irgendwie fest.
Nicht verzagen, das beiden Dinge, die du brauchst, sind die binomischen Formeln und dann den trigonometr. Pythgoras [mm]\sin^2(t)+\cos^2(t)=1[/mm]
Also alles Schulstoff 
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mi 15.01.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
Zu dem Teil mit [mm] cos^4, cos^3 [/mm] etc bin ich auch gekommen, von dort wusste ich jedoch nicht weiter. Ich habe probiert ein cos(t) auszuklammern, cos²t + sin²t mehrfach zu ersetzen aber danach sahs schlecht aus.
Mir wurde versichert wenn es einen Hinweis gibt, dann muss es auch genau so aussehen am Ende.
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Hallo nochmal,
> Zu dem Teil mit [mm]cos^4, cos^3[/mm] etc bin ich auch gekommen, von
> dort wusste ich jedoch nicht weiter. Ich habe probiert ein
> cos(t) auszuklammern, cos²t + sin²t mehrfach zu ersetzen
Da blieb doch nur ein [mm]sin^2(t)[/mm] zu ersetzen, du hast das doch alles in deiner Ableitung schon richtig gemacht ...
Ohne Wurzel:
[mm](2\cos^2(t)+\cos(t)-1)^2+(-\sin(t)(1+2\cos(t))^2=4\cos^4(t)+4\cos^3(t)-4\cos^2(t)+\cos^2(t)-2\cos(t)+1+\underbrace{\sin^2(t)}_{=1-\cos^2(t)}(1+4\cos(t)+4\cos^2(t))[/mm]
[mm]=4\cos^4(t)+4\cos^3(t)-4\cos^2(t)+\cos^2(t)-2\cos(t)+1+1+4\cos(t)+4\cos^2(t)-\cos^2(t)-4\cos^3(t)-4\cos^4(t)[/mm]
Und da bleibt nicht viel - du wirst deinen Hinweis noch gebrauchen
> aber danach sahs schlecht aus.
>
> Mir wurde versichert wenn es einen Hinweis gibt, dann muss
> es auch genau so aussehen am Ende.
Tut's ja auch (bis auf den Faktor 2)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mi 15.01.2014 | | Autor: | OneTwo7 |
Ja super, ich hatte beim selber probieren lediglich einen Vorzeichenfehler gemacht, auf die Idee mit dem 1-sin²(t) bin ich auch gekommen. Schade, dass es daran gescheitert ist.
Auf jeden fall vielen Dank!
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