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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Umschreiben einer Matrix
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Umschreiben einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Di 22.06.2004
Autor: tine

Hallo,
wär nett wenn mir jemand Helfen könnte! Zu zeigen ist, das für die n*n Matrix:

[mm] A=\vmat{ 2 & 1&....&1 \\ 1 & 2&...&1 \\ ... & ...&...&...\\1 & ...&...&2 \\ } [/mm]

gilt: detA=n+1

Dazu müßte ich die Martix umschreiben in die Einheitsvektoren und die dann mit einem Vektor addieren der aus nur aus einsen besteht, wie das gehen soll weiß ich leider nicht!!! Wär super lieb wenn mir jemand helfen könnte!! Vielen Dank!!
Liebe Grüße
tine

        
Bezug
Umschreiben einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Di 22.06.2004
Autor: Marc

Hallo tine!

> Hallo,
>  wär nett wenn mir jemand Helfen könnte! Zu zeigen ist, das
> für die n*n Matrix:
>  
> [mm]A=\vmat{ 2 & 1&....&1 \\ 1 & 2&...&1 \\ ... & ...&...&...\\1 & ...&...&2 \\ } [/mm]
>  
>
> gilt: detA=n+1
>  
> Dazu müßte ich die Martix umschreiben in die
> Einheitsvektoren und die dann mit einem Vektor addieren der
> aus nur aus einsen besteht, wie das gehen soll weiß ich
> leider nicht!!! Wär super lieb wenn mir jemand helfen
> könnte!! Vielen Dank!!

Hast du es denn schon mal für eine "konkrete Matrix" probiert, sagen wir, [mm] $4\times4$? [/mm]

Ich würde mal eine der äußeren Spalten/Zeilen (also die erste oder letzte Spalte bzw. die oberste bzw. unterste Zeile) von allen anderen Spalten/Zeilen subtrahieren; das ist ja erlaubt, die Addition von Vielfachen einer Spalte/Zeile zu einer anderen Spalte/Zeile verändert den Wert der Determinante nicht.

Auf diese Art und Weise erhält man eine Matrix, die nur noch eine 2 enthält und die eine [mm] $(n-1)\times(n-1)$ [/mm] Einheitsmatrix enthält.

Durch Entwicklung der Determinante nach der Spalte/Zeile, die die 2 enthält, kann man die Behauptung nun recht einfach zeigen, am besten per vollständiger Induktion.

Magst du es noch mal probieren?

Viele Grüße,
Marc


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Umschreiben einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Mi 23.06.2004
Autor: tine

Hallo,
gern würde ich diesen Weg nutzen aber ich erhalte  für die 4*4 Matrix:  
[mm]A=\vmat{ 2 & 1&1&1 \\ 1 & 2&1&1 \\ 1 & 1&2&1\\1 & 1&1&2 \\ } [/mm]
wenn ich nun die letze Zeile subtrahiere erhalte ich:
[mm]A=\vmat{ 1 & 0&0&-1 \\ 0 & 1&0&-1 \\ 0 & 0&1&-1\\ } [/mm]

und das ist leider keine (n-1)*(n-1) Matrix!!!
Was hab ich da falsch gemacht???

Liebe Grüße

Tine
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Umschreiben einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mi 23.06.2004
Autor: Paulus

Hallo tine

> Hallo,
>  gern würde ich diesen Weg nutzen aber ich erhalte  für die
> 4*4 Matrix:  
> [mm]A=\vmat{ 2 & 1&1&1 \\ 1 & 2&1&1 \\ 1 & 1&2&1\\1 & 1&1&2 \\ } [/mm]
>  
> wenn ich nun die letze Zeile subtrahiere erhalte ich:
>  [mm]A=\vmat{ 1 & 0&0&-1 \\ 0 & 1&0&-1 \\ 0 & 0&1&-1\\ } [/mm]
>  
>
> und das ist leider keine (n-1)*(n-1) Matrix!!!

marc meinte ja auch: eine Unter-Einheitsmatrix. Das heisst, wenn du in Gedanken eine Zeile und eine Spalte streichst, dann hast du eine $(n-1) [mm] \times [/mm] (n-1)$-Matrix, was allerdings noch nicht ganz korrekt war.

>  Was hab ich da falsch gemacht???
>  

Du hast fast nichts falsch gemacht, ausser dass du die unterste Zeile nicht einfach weglassen darfst. Du darfst sie nur von den übrizen Zeilen subtrahieren, aber sie selber unbehelligt lassen! Korrekt müsste das also so aussehen:
[mm] $A=\vmat{1&0&0&-1\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\1&1&1&2}$ [/mm]

Du siehst auch, dass die 3x3-Untermatrix links oben eben wie eine Einheitsmatrix aussieht. :-)

Jetzt würde ich doch einfach noch die Spalten 1 bis 3 zur 4. Spalte addieren, und anschliessend noch die Zeilen 1 bis 3 von der 4. Zeile subtrahieren. :-)

Mit lieben Grüssen

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Umschreiben einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Di 22.06.2004
Autor: Julius

Liebe Tine!

Man kann es auch noch einfacher haben, ohne jegliche Rechnung.

Durch einen kurzen Blick sieht man, dass die linear unabhängigen Vektoren

[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}, \ldots [/mm] , [mm] \begin{pmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm]

Eigenvektoren zum Eigenwert $1$ und der Vektor

[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]

ein Eigenvektor zum Eigenwert $n+1$ ist.

Da bei einer symmetrischen Matrix die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte ist, folgt die Behauptung.

Liebe Grüße
Julius
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Umschreiben einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Di 22.06.2004
Autor: Marc

Hallo julius,

[respekt] [daumenhoch]

Marc


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