Umordnung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \nu(k) [/mm] eine bijektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN
[/mm]
mit [mm] \nu(1)=1 [/mm] sowie [mm] \nu(2)=2 [/mm] und für k>2:
[mm] \nu(k)=\begin{cases} k+k/3, & \mbox{für } \mbox{ 3 teilt k} \\ k-(k-1)/3, & \mbox{für } \mbox{ 3 teilt (k-1)} \\ k+(k-2)/3, & \mbox{für } \mbox{ 3 teilt (k-2)}\end{cases}
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass die Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{\nu(k)+1}*\bruch{1}{\nu(k)} [/mm] konvergiert und gilt: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{\nu(k)+1}*\bruch{1}{\nu(k)}=\bruch{1}{2}*\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{(k)+1}*\bruch{1}{k}
[/mm]
2. Zeigen Sie, dass für eine bedingt konvergente Reihe gilt:
(i) Für alle reelen Zahlen existiert eine Umordnung, sodass die Reihe diesen Wert annimmt.
(ii) Es gibt eine Umordnung, sodass die Reihe nach [mm] +\infty [/mm] divergiert.
(iii) Es gibt eine Umordnung, sodass die Reihe nach [mm] -\infty [/mm] divergiert. |
Ich habe irgendwie nicht so wirklich Ahnung, wie man an die Aufgabe herangehen soll. Man kann sich natürlich erstmal die Permutation [mm] \nu [/mm] angucken und dann die Umordnung der Reihe.
Besonders kann ich irgendwie nicht erkennen, warum das nun ausgerechnet die Hälfte des Grenzwertes der alternierenden harmonischen Reihe sein sollte.
Zum zweiten Teil gibt es den Tipp, dass die Summe über alle [mm] max({0,a_{k}} [/mm] )beziehungsweise über alle [mm] min({0,a_{k}} [/mm] )divergiert, wenn die Reihe von der Folge [mm] (a_{k}) [/mm] bestimmt konvergent ist.
Aber ich weiß auch nicht, wie mir das weiterhelfen soll, insbesondere bei (i), wenn dann schon bei (ii)/(iii). Was wäre denn, wenn man zuerst alle positiven Folgenglieder nimmt und dann alle negativen dazu. Reicht es zu sagen, dass divergiert, da die Summe über max(0,a) (also alle positiven) und die Summe über min(0,a) (also alle negativen) divergieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Di 24.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Zum zweiten Teil: Der Hinweis dass die Reihen der positiven [mm] (a_k) [/mm] bzw. negativen Summanden [mm] (b_k) [/mm] jeweils divergieren, ist der Schlüssel. Nimm dir nun eine beliebige Zahl [mm] $C\in\IR$, [/mm] o.B.d.A. [mm] $C\ge [/mm] 0$. Wir wolen eine Folge [mm] $c_k$ [/mm] konstruieren sodass [mm] $\sum_k c_k=C$. [/mm] Nun setzt du [mm] c_k=a_k [/mm] solange, bis zum ersten mal [mm] $\sum_{k=1}^N c_k>C$ [/mm] ist (das geht weil die Summe über [mm] a_k [/mm] divergiert). Nun addierst du solange [mm] $b_k$'s, [/mm] bis zum ersten mal C unterschritten wird. Dieses Spiel macht man jetzt unendlich oft (man muss hier streng mathematisch die Folge der [mm] c_k [/mm] induktiv definieren!), dabei wird garantiert auch jeder der ursprünglichen Summanden genau einmal benutzt. Dann konvergiert [mm] $\sum c_k$ [/mm] gegen C!
Wenn du das verstanden, sauber ausgeführt und alles bewiesen hast, werden dir (ii) und (iii) ganz leicht vorkommen.
Gruß, Robert
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