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| Aufgabe | | Ist [mm] \summe_{n}^{\infty}z_n [/mm] eine bedingt konvergente Reihe. Sei s: [mm] \IN \to \IN [/mm] mit |s(n)-n| [mm] \le [/mm] M für ein festes M. Beweisen Sie, dass dann auch die Umordnung obiger Reihe, [mm] \summe_{n}^{\infty} z_{s(n)}, [/mm] mit demselben Grenzwert konvergiert. |
Mir fehlt irgendwie ein formaler Beweis für diese Tatsache. Ich meine, irgendwie ist's ja klar - die Summe der Reihe bis zu einem bestimmten n unterscheidet sich immer nur in maximal M unterschiedlichen Gliedern der beiden Partialsummen. Diese spielen natürlich, wenn man n gegen unendlich gehen lässt, keine Rolle mehr. Aber wie kann ich das schön formal beweisen?
Ich bin um jede Hilfe dankbar :)
Mein eigentlich erster Anatz war es, K = max {s(n) n [mm] \in [/mm] I} mit I = [0, [mm] n_0] [/mm] zu definieren. Dann dachte ich, dass folgendes gelten würde, was sich aber im Nachhinein als Trugschluss herausgestallt hat, da die Reihe ja nicht absolut konvergent ist:
[mm] |\summe_{n}^{n_0} z_{s(n)} [/mm] - z| [mm] \le |\summe_{n}^{K}z^{n} [/mm] - z| < [mm] \varepsilon, [/mm] da rechteres konvergent (strebe es gegen z und sei K genügend groß) ist und rechteres alle Glieder der linken Partialsumme enthält und noch einige mehr.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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