Umkehrung Satz des Thales < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mi 26.06.2013 | | Autor: | eisheim |
| Aufgabe | Beweisen Sie die "Umkehrung" des Thalessatzes:
»Die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks liegen auf einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser.« |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich würde gerne wissen, ob meine "Beweisführung" akzeptabel (nachvollziehbar und schlüssig) ist, bzw. ob ich den richtigen Ansatz gewählt habe.
Voraussetzung/Gegeben sei:
Ein Δ (ABC) für das gilt: der Winkel ACB ist rechtwinklig; genannt γ.
Behauptung:
Δ (ABC) ⋂ k (M; r | 2r = |AB|) = {A, B, C}
Beweis:
wenn γ 90°, dann α+ β = 90°
S. 8: »Die Summe der Maße der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt.«
Man zeichne Symmetrieachse s zu ∢ γ
G 8: »Die Symmetrieachse eines Winkels geht durch den Scheitelpunkt und halbiert das Winkelfeld.« (und damit die Hypotenuse)
s ∩ Strecke AB = {M} und |AM| = |MB|
Man zeichne die Mittelsenkrechte n zur Strecke AC .
n ∩ AB = {M}
⇒ Δ (AMC) ist gleichschenklig
S. 10: »In einem gleichschenkligen Dreieck geht die Mittelsenkrechte der Basis durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.«
und α = γ', da
S. 11: »In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich.«
⇒ |AM| = |MC|
Da ein Kreis die Menge aller Punkte ist, die von einem festen Punkt M dieselbe Entfernung haben und
|AM| = |BM| = |CM| (= Radius) zutrifft, gilt: »Die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks liegen auf einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser.«
(Ach ja, soetwas wie den Strahlensatz hatte ich noch nicht.)
So richtig zufrieden bin ich nicht, auch was die math. Schreibweise betrifft. Naja, was sagt ihr dazu? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 26.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Beweisen Sie die "Umkehrung" des Thalessatzes:
>
> »Die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks liegen auf
> einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser.«
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich würde gerne wissen, ob meine "Beweisführung"
> akzeptabel (nachvollziehbar und schlüssig) ist, bzw. ob
> ich den richtigen Ansatz gewählt habe.
>
>
> Voraussetzung/Gegeben sei:
> Ein Δ (ABC) für das gilt: der Winkel ACB ist
> rechtwinklig; genannt γ.
>
> Behauptung:
> Δ (ABC) ⋂ k (M; r | 2r = |AB|) = {A, B, C}
>
> Beweis:
>
> wenn γ 90°, dann α+ β = 90°
> S. 8: »Die Summe der Maße der Innenwinkel eines Dreiecks
> 180° beträgt.«
>
> Man zeichne Symmetrieachse s zu ∢ γ
> G 8: »Die Symmetrieachse eines Winkels geht durch den
> Scheitelpunkt und halbiert das Winkelfeld.« (und damit die
> Hypotenuse)
der Satz in der Klammer ist falsch, zeichne ein beliebiges, nicht gleichschenkliges Dreieck.
ich sehe aber nicht, wo du diese Gerade später brauchst.
> s ∩ Strecke AB = {M} und |AM| = |MB|
>
> Man zeichne die Mittelsenkrechte n zur Strecke AC .
> n ∩ AB = {M}
kannst du das begründen, es ist richtig, ich sehe aber nur den Strahlensatz oder ähnliche Dreiecke
> ⇒ Δ (AMC) ist gleichschenklig
> S. 10: »In einem gleichschenkligen Dreieck geht die
> Mittelsenkrechte der Basis durch den gegenüberliegenden
> Eckpunkt.«
>
> und α = γ', da
was ist [mm] \gamma' [/mm] und wo brauchst du das?
> S. 11: »In einem gleichschenkligen Dreieck sind die
> Basiswinkel gleich.«
>
> ⇒ |AM| = |MC|
>
> Da ein Kreis die Menge aller Punkte ist, die von einem
> festen Punkt M dieselbe Entfernung haben und
> |AM| = |BM| = |CM| (= Radius) zutrifft, gilt: »Die
> Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks liegen auf einem
> Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser.«
>
> (Ach ja, soetwas wie den Strahlensatz hatte ich noch
> nicht.)
ich finde es leichter, das Dreick durch ein gedrehtes gleiches zum Rechteck zu ergänzen, und zu zeigen, dass jedes Rechteck einen Umkreis hat.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Mo 26.08.2013 | | Autor: | eisheim |
Hallo leduart,
ich wollte dir noch für deine Hinweise danken, sie haben mir geholfen!
Letztendlich wurde die folgende Lösung akzeptiert (Strahlensatz usw. durfte ich nicht verwenden):
Voraussetzung: Dreieck (ABC) | |Winkel (BCA)| = 90°
Behauptung: Dreieck (ABC) geschnitten mit Kreis (M, r | 2r = |AB|) = {A, B, C}
Beweis: Markiere den Mittelpunkt M der Strecke |AB|.
-> |MA| = |MB|
Zeichne die Mittelsenkrechte k der Strecke |AC| ein.
Da der Mittelpunkt M e der Geraden k ist
-> Dreieck (AMC) ist gleichschenklig, weil "In einem gleichschenkligen Dreieck die Mittelsenkrechte der Basis durch den gegenüber liegenden Eckpunkt geht."
Da nun |MA| = |MB| = |MC|
und "Ein Kreis die Menge aller Punkte ist, die von einem festen Punkt M dieselbe Entfernung r haben."
-> Dreieck (ABC) geschnitten mit k (M, r | 2r = |AB|) = {A,B,C}
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