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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 09.12.2009 | | Autor: | eistee03 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f für die gegebene Definitionsmenge.
e) f(x)= [mm] \wurzel[3](x^2-1) [/mm] , x > 1 |
Guten Abend!
Ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen, aber leider komme ich mit meinem Wissen nicht weit!
Mein Lösungsansatz:
f(x)= [mm] \wurzel[3]{x^2-1}
[/mm]
y = [mm] \wurzel[3]{x^2-1}
[/mm]
[mm] y^3 [/mm] = [mm] \wurzel(x^2-1)
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] y^3+1
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] x^3+1
[/mm]
So weit habe ich es geschafft, ich weiß nicht ob mein Ansatz richtig ist, aber ich habe zumindest versucht die Aufgabe nach dem Beispiel aus meinem Buch zu machen.
Mein Problem ist, das ich jetzt nicht weiss wie ich nun wenn ich die Wurzel ziehe, das anstellen soll.
Würde das dann so aussehen? :
y = [mm] x^2+1 [/mm] ??
Ich danke im Voraus für jede Hilfe.
Viele Grüße,
eistee03
Edit: Aufgabe verbessert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f für die gegebene
> Definitionsmenge.
>
> e) f(x)= [mm]\wurzel[3](x²-1)[/mm] , x > 1
> Guten Abend!
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> Ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen, aber leider
> komme ich mit meinem Wissen nicht weit!
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> f(x)= [mm]\wurzel[3]{x²-1}[/mm]
> y = [mm]\wurzel[3]{x²-1}[/mm]
> y³ = [mm]\wurzel(x²-1)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , das auflösen der 3. Wurzel liefert dir links ein [mm] y^3 [/mm] und rechts ein x-1, eben was unter der Wurzel stand, oder du hast die Gleichung falsch abgeschrieben
> x² = y³+1
nicht ganz, sorry habe zuerst falsch geschaut, woher kommt bei dir das Quadrat???
> y² = x³+1
>
> So weit habe ich es geschafft, ich weiß nicht ob mein
> Ansatz richtig ist, aber ich habe zumindest versucht die
> Aufgabe nach dem Beispiel aus meinem Buch zu machen.
> Mein Problem ist, das ich jetzt nicht weiss wie ich nun
> wenn ich die Wurzel ziehe, das anstellen soll.
>
> Würde das dann so aussehen? :
>
> y = x²+1 ??
>
> Ich danke im Voraus für jede Hilfe.
> Viele Grüße,
> eistee03
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Fast richtig, nur scheinst du noch nicht soo gut mit dem Formeleditor umgehen zu können, am besten immer alles, was länger als ein Zeichen ist, in Klammern setzten ;) Also wir stimmen dahingehend überein, dass gilt:
ACHTUNG! Diese Funktion ist eindeutig umkehrbar, hatte mich schon gewundert, denn woher hast du das Quadrat bekommen? Natürlich bleibt nur ein x übrig!
$ [mm] f(x)=\wurzel[3]{x²-1} [/mm] $ sowie der wichtige! Sachverhalt x>1
Ferner sehen wir, dass der Wertebereich [mm] \IW [/mm] für die Funktion f nur positiv sein kann, also [mm] \IR_0^+ [/mm] (wobei ich davon ausgehe, dassm an 1 noch einsetzten darf, also x [mm] \ge [/mm] 1 und nicht x > 1)
Dann gilt:
$ [mm] f^{-1}(x)=x^3+1 [/mm] $
Natürlich kannst du auch erstmal [mm] x=y^3+1 [/mm] schreiben und dann x und y vertauschen.
Das wars, keine Fallunterscheidung usw.
Nun später wirst du erfahren, dass Funktionen nur umkehrbar sind (eindeutig), wenn sie injektiv sind, was bedeutet, dass sie streng monoton wachsend oder fallend sind. Du hast bei Parabeln aber immer das Problem, dass sie nicht eindeutig umkehrbar sind, weil [mm] x^2 [/mm] z.B. ja links und rechts vom Ursprung gleichermaßen anwächst, sie ist ja achsensymmetrisch. Sicher weißt du, dass man geometrisch eine Umkehrfunktion erhält, wenn man an der ersten Winkelhalbierenden bzw an der Geraden x spiegelt. Dies geht aber z.B. bei [mm] x^2 [/mm] nicht. Erst wenn du [mm] x^2 [/mm] für x>0 einschränkst, kannst du diese Funktion eindeutig umkehren, ansonsten gilt, dass [mm] x^2 [/mm] zwei Umkehrfunktionen besitzt: [mm] -\wurzel{x} [/mm] für x<0 und [mm] \wurzel{x} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0. Demnach haben wir auch hier das Problem, dass, obwohl die Wurzelfunktion ansich injektiv und eindeutig ist, wir für die Umkehrfunktion zwei Möglichkeiten erhalten, weil nuneinmal zwei Funktionen diese Umkehrfunktion haben können.
Hier gibt es jedoch kein Problem, Wurzelfunktionen sind per se injektiv, also eindeutig und nicht symmetrisch und damit auch umkehrbar, dershalb nur eine Lösung!
Anmerkung: In der Tat wäre die Aufgabe anders verlaufen, hätte unter der Wurzel [mm] x^2-1 [/mm] gestanden, dann hättest du beim Auflösen ein [mm] x^2=y^3+1 [/mm] erhalten und du hättest due Wurzel wählen müssen, die positiv ist! Denn laut Voraussetzung muss gelten: x>1 und das wäre für [mm] -\wurzel{y^3+1} [/mm] nicht gegeben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Mi 09.12.2009 | | Autor: | eistee03 |
Oh sorry! Ich habe mich erst heute angemeldet, und komme doch nicht wirklich damit klar also dort ist ein [mm] x^2 [/mm] in der Aufgabe, nur wurde das nicht Angezeigt. Ich verbessere meinen Beitrag - könntest du dann nochmal drüber schauen?
Tut mir sehr leid ich habe darauf nicht geachtet als ich mir die Vorschau des Beitrages angesehen habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Adamantin |
Dann gilt, was ich sagte über zwei Lösungen und die Bedingung! Es muss gelten x>1 und das ist nur für die positive Wurzel erfüllt, also lautet deine eindeutig umkehrbare Funktion [mm] $f^{-1}(x)=+\wurzel{x^3+1}$
[/mm]
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