Umkehrfunktion einer e-Funktio < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Fr 26.03.2010 | | Autor: | pucki |
| Aufgabe | | Let f(x) be defined by f(x)=xlnx+2 (x>0) and let g be the inverse function of f. Then g'(e+2) is equal to 0.5. |
Ich habe hier nun eine ähnliche Aufgabe.
f(x)=xlnx+2 und f'(x)=lnx+1
[mm] g'(e+2)=\bruch{1}{f'(x)}=\bruch{1}{ln(e+2)+1}=\bruch{1}{1+ln2}
[/mm]
Ich komme nicht auf die richtige Lösung :( Wieso soll ich jetzt x=2 nehmen statt x=e+2?
Gruß, pucki
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Zunächst ist die Aufgabe unsauber gestellt. Denn [mm]f[/mm] ist global nicht invertierbar. Es sollte für die Zwecke dieser Aufgabe
[mm]f(x) = 2+ x \ln x \, , \ \ x > \operatorname{e}^{-1}[/mm]
heißen. Denn in diesem Intervall ist [mm]f[/mm] streng monoton wachsend und damit invertierbar.
Wenn [mm]g[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]f[/mm] ist, dann gilt:
[mm]g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \ \ \text{mit} \ \ y = f(x)[/mm]
In deinem Fall ist [mm]y = \operatorname{e}+2[/mm]. Um die Formel anwenden zu können, mußt du jetzt erst das zu [mm]y[/mm] passende [mm]x[/mm] mittels [mm]f[/mm] bestimmen. Einfach ein bißchen probieren ...
Hier ein anderes Beispiel:
[mm]f(x) = x^3 \, , \ \ x>0[/mm]
Sei [mm]g[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]f[/mm]. Was ist dann [mm]g'(8)[/mm]?
Es gilt [mm]8 = f(2)[/mm]. Daher folgt:
[mm]g'(8) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{3 \cdot 2^2} = \frac{1}{12}[/mm]
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