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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Di 24.04.2007 | | Autor: | spanky |
Hallo ihr :)
Ich muss in 2 Wochen ein Referat über Umkehrfunktionen halten.
Jetzt habe ich mir folgendes vorgestellt:
-Erst allgemein erklären was Umkehrfunktionen sind.
-Bedingungen die erfüllt werden müssen damit man eine Funktion umkehren kann
-Beispiele:
So jetzt meine Frage...
Hat jemand eine Idee welche Beispiele man bringen kann damit es auch jeder versteht (damit meine ich Leute die zum ersten mal was von Umkehrfunktionen hören). Soll also nichts kompliziertes sein.
Danke
Mario
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Di 24.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Als Beispiel für eine Funktion, die man nicht komplett umkehren kann, würde ich einfach f(x)=x² nehmen, da dort einem y-Wert mehrere x-Wert zugeordnet werden.
Die Wurzelfunktion ist nur die Umkehrfunktion von der rechten Hälfte der quadratischen Funktion!
Würde man f(x)=x² komplett umkehren wollen, würde keine Funktion mehr rauskommen, sondern eine nach rechts geöffnete Parabel.
Und als Beispiel für komplett umkehrbare fällt mir Gerade kein gutes Beispiel ein... eben nur einfache Sachen wie y=4x.
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Hallo,
ein hübsches Beispiel für eine vollständig umkehrbare Funktion ist auch die [mm] e^{x}-Funktion [/mm] und ihre Umkehrung, die ln(x)-Funktion. Da sieht man auch sehr schön die Achsensymmetrie zur Winkelhalbierenden durch den I. / III. Quadranten.
Vollständig umkehrbar ist auch [mm] x^{3} [/mm] als [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]. (Manche Mathematikbücher definieren allerdings das Argument ungerader Wurzeln nur als positiv, obwohl sich die ungerade Wurzel auch aus negativen Zahlen ziehen lässt.)
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 24.04.2007 | | Autor: | spanky |
So vielen Dank :)
Wie schaut es mit einer Funktion wie z.B.
[mm] x^2+4x+12 [/mm] aus?
Wie löst man die?
Erst Extrempunkt ausrechnen und dann Def.bereich einschränken ?
Vielen Dank
Mario
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Di 24.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, eine Funktion ist ja genau dann umkehrbar, wenn sie in dem Intervall, indem sie umgekehrt werden soll, monoton steigt oder fällt.
Da es sich bei deiner Funktion um eine Parabel handelt, die einen Tiefpunkt bestitzt, musst du die Umkehrfunktion auf ein Intervall beschränken, in dem diese Funktion entweder monoton steigt oder fällt.
Also: Extremstelle suchen, und das Intervall defnieren, indem du die Funktion ohne weiteres Umkehren kannst.
LG
Kroni
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:17 Mi 25.04.2007 | | Autor: | komduck |
> Hi,
>
> ... eine Funktion ist ja genau dann umkehrbar, wenn sie in
> dem Intervall, indem sie umgekehrt werden soll, monoton
> steigt oder fällt.
>
Wir müssen monoton durch streng monoton ersetzen.
Konstante Funktion sind monotan aber nicht umkehrbar, wenn
der Definitionsbereich mindestens 2 Punkte enthält.
Die Umkehtung "Eine Funktion ist umkehrbar [mm] \Rightarrow [/mm] die Funktion ist streng monoton" gilt nicht.
Nur für stetige Funktionen folgt aus der Umkehrbarkeit auch die
strenge monotonie.
Beispiel:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & x \in \IQ \\ -x, & x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}
[/mm]
f(f(x)) = x also ist f seine eigene Umkehrfunktion.
mfg komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 24.04.2007 | | Autor: | spanky |
Wäre meine Lösung richtig?
y = [mm] x^2 [/mm] + 4x + 12
y = (x + [mm] 2)^2 [/mm] + 8
y - 8 = [mm] (x+2)^2
[/mm]
wurzel(y - 8) = x + 2
wurzel(y - 8) - 2 = x
y = wurzel(x - 8) - 2
Definitionsbereich wäre von -2 bis unendlich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Di 24.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wäre meine Lösung richtig?
>
> y = [mm]x^2[/mm] + 4x + 12
> y = (x + [mm]2)^2[/mm] + 8
> y - 8 = [mm](x+2)^2[/mm]
> wurzel(y - 8) = x + 2
> wurzel(y - 8) - 2 = x
> y = wurzel(x - 8) - 2
>
> Definitionsbereich wäre von -2 bis unendlich
Überleg mal: 1. [mm] \wurzel{-2-8} [/mm] gibt es doch nicht!
2. wohin wird denn der Scheitel (8,-2) hingespiegelt?
Deine Umkehrfkt ist richtig, dein Def. Bereich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Di 24.04.2007 | | Autor: | spanky |
Ok danke
Wäre der Definitionsbereich von 8 bis unendlich richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Di 24.04.2007 | | Autor: | leduart |
Ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mi 25.04.2007 | | Autor: | spanky |
Danke sehr...
Eine Funktion die ständig monoton steigt bzw. fällt ist vollständig umkehrbahr?
Und wie wirken sich Definitionslücken auf eine Umkehrfunktion aus?
Danke
Mario
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Hallo Mario!
> Eine Funktion die ständig monoton steigt bzw. fällt ist
> vollständig umkehrbahr?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja ...
> Und wie wirken sich Definitionslücken auf eine
> Umkehrfunktion aus?
Gar nicht meine ich ... oder hast Du gerade ein spezielles Beispiel vor Augen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 16:10 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es ist doch so , dass die Definitionsmenge der Funktion gleich der Wertemenge der Umkehrfunktion wird.
Hast du also eine Definitionslücke, so wirkt sich diese auf die Wertemenge der Umkehrfunktion aus (denn wenn zb die Definitionslücke bei x=0 liegt, gehört die 0 eben nicht zur Wertemenge der Umkehrfunktion)!
LG
Kroni
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:16 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kroni!
Mit Deiner Anmerkung hast Du natürlich Recht. Ich hatte das interpretiert / gelesen, ob sich eine Definitionslücke auf die Umkehrbarkeit auswirkt.
Und dem ist ja wohl nicht der Fall ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:20 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du die Frage so verstehst, ob sich die Deflücke auf die Umkehrbarkeit auswirkt, dann ist deine Antwort richtig.
Einziges Kriterium ist dort ja nur, ob die Funktion in dem Intervall monoton steigt oder fällt.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 25.04.2007 | | Autor: | spanky |
Vielen Dank
Gibt es noch weitere nennenswerte Sachen die man wissen sollte ?
und wozu werden Umkehrfunktionen eigentlich verwendet? Habe mich dämlich gesucht aber nichts gefunden...
Danke
Mario
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mi 25.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du den sin eines Winkels weisst willst du doch vielleicht auch mal den Winkel wissen. Wenn du das Quadrat einer Zahl kennst auch mal die Zahl selbst,
Wenn du die funktion kennst, nach der man den Benzinverbrauch aus den gefahrenen km errechnet, willst du bei bekanntem Benzinverbrauch auch mal die gefahrenen km wissen. Bei jeder Fkt, die was aus dem täglichen Leben oder der Physik beschreibt ist die Umkehrfkt, meistens genauso interessant.
Gruss leduart
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