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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mi 07.01.2009 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | Sei f die quadratische Funktion gegeben durch f(x) = 1/3 (x - [mm] 2)^2 [/mm] +1.
Bestimmen Sie zwei grösstmögliche Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] auf denen f umkehrbar ist. Bestimmen sie die zugehörigen Umkehrfunktionen. |
Hallo zusammen
Ich kann bei dieser Aufgabe die Umkehrfunktion nicht bestimmen. Wer kann mir damit helfen.
Ich nehme an, dass die Teilmengen ] [mm] -\infty [/mm] , 2] und [2, [mm] \infty[ [/mm] ist.
Aber wie komme ich da auf die Umkehrfunktion? Für eure Antworten bin ich wie immer sehr dankbar.
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Hallo kilchi,
Die Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv (sürjektiv+injektiv) ist.
Damit die Funktion injektiv ist, müssen die x-Werte größer/gleich dem x-Wert des Extrempunktes sein! (weil der Graph der Funktion eine Parabel ist)
Die Umkerfunktion lässt sich bestimmen, indem du erst nach x umstellst, und dann y mit x ersetzt, und x mit [mm] \overline{f}(x) [/mm] als Zeichen für die Umkehrfunktion.
d.h. [mm] f(x)=\bruch{1}{3}*(x-2)^{2}+1 \gdw 3*(f(x)-1)=(x-2)^{2} \gdw [/mm] ...
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 07.01.2009 | | Autor: | kilchi |
also dann müsste mein Lösungsweg der folgende sein:
3 (f(x) - 1) = (x - [mm] 2)^2
[/mm]
[mm] \wurzel{3 (f(x) - 1)} [/mm] = x - 2
[mm] \wurzel{3 (f(x) - 1)} [/mm] + 2 = x und jetzt noch umstellen
[mm] \wurzel{3 (x - 1)} [/mm] + 2 = f-1(x)
Ist das richtig?
Danke dir jetzt schon!
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Als Probe können wir ja mal [mm] f(f^{-1}(x)) [/mm] ausrechnen, das müsste ja wieder x sein, denn [mm] f^{-1} \circ \\f=f\ \circ f^{-1}=Id_x
[/mm]
[mm] f(f^{-1}(x))=f(\wurzel{3 (x - 1)}+2)=\bruch{1}{3}*((\wurzel{3 (x - 1)}+2)-2)^{2}+1=\bruch{1}{3}*3(x-1)+1=x-1+1=x
[/mm]
Es scheint also die Umkehrfunktion zu sein.
lg Kai
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