Umkehrfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
gegeben:
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{x}{1+|x|}. [/mm] Die Umkehrfunktion wird gesucht. In den Lösungen habe ich nachgeschaut; dort steht als Ergebnis
[mm] f^{-1} [/mm] : ]-1,1[ [mm] \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \bruch{x}{1-|x|}.
[/mm]
Ich habe selbst so gerechnet:
[mm] f^{-1}(y=\bruch{x}{1+|x|})= [/mm] y*(1+ |x|)=x
Ich bitte um eine Korrektur.
Schöne Grüße
Igor
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> Hallo,
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> gegeben:
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> f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{x}{1+|x|}.[/mm] Die
> Umkehrfunktion wird gesucht. In den Lösungen habe ich
> nachgeschaut; dort steht als Ergebnis
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> [mm]f^{-1}[/mm] : ]-1,1[ [mm]\to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto \bruch{x}{1-|x|}.[/mm]
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> Ich habe selbst so gerechnet:
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> [mm]f^{-1}(y=\bruch{x}{1+|x|})=[/mm] y*(1+ |x|)=x
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> Ich bitte um eine Korrektur.
Ich verstehe leider nicht so recht, was Du gerechnet hast.
Um die Umkehrfunktion von [mm] $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$ [/mm] zu finden, würde ich versuchen, die Funktionsgleichung [mm] $y=\frac{x}{1+|x|}$ [/mm] nach $x$ aufzulösen.
Beim Auflösen von [mm] $y=\frac{x}{1+|x|}$ [/mm] sehe ich mich leider gezwungen, eine Fallunterscheidung einzuführen:
1. Fall: [mm] $x\geq [/mm] 0$ (dies ist äquivalent mit [mm] $y\geq [/mm] 0$, da der Nenner des Funktionsterms von $f$ stets $>0$ ist und $x$ im Nenner steht). In diesem Fall erhalte ich [mm] $x=\frac{y}{1\red{-}y}$.
[/mm]
2. Fall: $x<0$ (dies ist äquivalent mit $y<0$). In diesem Fall erhalte ich [mm] $x=\frac{y}{1\red{+}y}$.
[/mm]
Der Unterschied im Vorzeichen des $y$-Terms im Nenner der beiden Fälle wird, wegen [mm] $x\geq 0\Leftrightarrow y\geq [/mm] 0$, gerade durch den Betrag richtiggestellt, so dass man am Ende die beiden Fälle wieder zu einem einzigen Fall: [mm] $x=\frac{y}{1\red{-|}y\red{|}}$ [/mm] zusammenfassen kann. Umbenennen Funktionsvariablen $y$ in $x$ ergibt die gewünschte Lösung [mm] $f^{-1}(x)=\frac{x}{1-|x|}$.
[/mm]
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