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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] P:\IR \to \IR, x\mapsto x^5+x+2 [/mm] bijektiv ist und eine Umkehrfunktion g mit [mm] 0
Tip: {0,2,4} [mm] \subset P(\IZ) [/mm] |
Hallo Leute,
ich weiss, dass P streng monoton wachsend ist, da [mm] P'(x)=5x^4+1 [/mm] >0 ist für alle [mm] x\in \IR. [/mm]
P ist bijektiv, da P(x) [mm] \to +\infty [/mm] für [mm] x\to +\infty [/mm] und P(x) [mm] \to -\infty [/mm] für [mm] x\to -\infty [/mm] , d.h. das P den ganzen Wertebereich [mm] \IR [/mm] einnimmt und es existiert die Umkehrfunktion [mm] g:\IR \to \IR.
[/mm]
Liege ich soweit richtig?
Da g'(y)= [mm] P'(x)^{-1} \le [/mm] 1 erfüllt die Umkehrfunktion folgendes [mm] 0
Kann man das so machen?
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Du mußt nur den fundamentalen Zusammenhang
[mm]p'(x) \cdot g'(y) = 1[/mm] für [mm]y = p(x)[/mm]
verwenden. Beachte [mm]p'(x) = 5x^4 + 1 \geq 1[/mm]. Was heißt das also für [mm]g'(y)[/mm]?
Und die Ableitungen an den gesuchten Stellen lassen sich auch leicht ermitteln. Mit etwas Probieren kann man die zu den [mm]y[/mm]-Werten passenden [mm]x[/mm]-Werte finden. Zum Beispiel gilt: [mm]p(-1) = 0[/mm]. Daher folgt nach Obigem
[mm]p'(-1) \cdot g'(0) = 1[/mm]
Und [mm]p(x), \, p'(x)[/mm] beherrscht man ja völlig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Sharik |
Hey Leopold_Gast,
danke erstmal für die schnelle Antwort.
> Du mußt nur den fundamentalen Zusammenhang
>
> [mm]p'(x) \cdot g'(y) = 1[/mm] für [mm]y = p(x)[/mm]
>
> verwenden. Beachte [mm]p'(x) = 5x^4 + 1 \geq 1[/mm]. Was heißt das
> also für [mm]g'(y)[/mm]?
Heißt das dann, dass [mm] g'(x)\le1 [/mm] sien muss damit P'(x) [mm] \cdot [/mm] g'(y)=1 ist. Oder was meinst du damit?
>
> Und die Ableitungen an den gesuchten Stellen lassen sich
> auch leicht ermitteln. Mit etwas Probieren kann man die zu
> den [mm]y[/mm]-Werten passenden [mm]x[/mm]-Werte finden. Zum Beispiel gilt:
> [mm]p(-1) = 0[/mm]. Daher folgt nach Obigem
>
> [mm]p'(-1) \cdot g'(0) = 1[/mm]
genau das hab ich auch versucht und hab da folgendes rausbekommen [mm] g'(0)=g'(P(-1))=(P'(-1))^{-1}=1/6
[/mm]
g'(2)=1
g'(4)=1/6
das schaut auch gut aus oder?
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Wenn in einem Produkt positiver (!) Zahlen mit Wert 1 ein Faktor größer oder gleich 1 ist, muß der andere kleiner oder gleich 1 sein.
Du hast alles richtig gemacht.
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