Umkehrbarkeit der Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Ist die Funktion umkehrbar:
f(x) = [mm] x^3 [/mm] +2x +1 |
guten tag,
die Funktion ist nicht umkehrbar da [mm] x^3 [/mm] nicht eineindeutig ist.
und [mm] x^2 [/mm] nicht umkehrbar ist.
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Hallo Lisa !
> Ist die Funktion umkehrbar:
>
> f(x) = [mm]x^3[/mm] +2x +1
> guten tag,
> die Funktion ist nicht umkehrbar da [mm]x^3[/mm] nicht eineindeutig
> ist.
> und [mm]x^2[/mm] nicht umkehrbar ist.
Falsch.
[mm] x^3 [/mm] ist eineindeutig, und die vorliegende Funktion
ebenfalls, da sie streng monoton steigend ist.
Sie ist differenzierbar, und [mm] f'(x)=3\,x^2+2 [/mm] ist für
alle [mm] x\in\IR [/mm] positiv.
Nicht ganz einfach ist es allerdings, für die Umkehr-
funktion eine Formel anzugeben. Dazu müsste man
die Formeln von Cardano zur Lösung kubischer
Gleichungen bemühen.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
dann muss die Umkehrbarkeit sein nach Cardano
[mm] \wurzel[3]{- 1/2 +\wurzel[2]{(1/2)^2 + (2/3)^3}}
[/mm]
muss ich das noch weiter auflösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lisa!
Da in Deinem Term keinerlei Variablen vorkommen, kann dies auch keine Umkehrfunktion sein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
wie löse ich so eine kubische gleichung auf?
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Hallo Lisa,
> wie löse ich so eine kubische gleichung auf?
Nun, wie Al bereits schrieb, kannst du die Formel von Cardano benutzen.
Das ist aber eine elende Rumrechnerei, da bist du stundenlang beschäftigt 
Aber in der Ausgangsfrage ging es ja nur darum zu begründen, ob die Funktion umkehrbar ist, nach einer expliziten Funktionsvorschrift für die UKF war ja nicht gefragt:
Hier der Term, den DERIVE ausspuckt:
[mm] $y^{\text{invers}}(x)=\frac{\sqrt{3}\cdot{}2^{\frac{2}{3}}\cdot{}\left(\sqrt{27x^2-54x+59}+3\sqrt{3}x-3\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{6}-\frac{\sqrt{3}\cdot{}2^{\frac{2}{3}}\cdot{}\left(\sqrt{27x^2-54x+59}-3\sqrt{3}x+3\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{6}$
[/mm]
Das sollst du bestimmt nicht explizit berechnen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
es heisst skizzieren sie die Umkehrfunktion..
dazu brauche ich aber die Umkehrfunktion um Werte für die Kurve zu berechnen..........
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> es heisst skizzieren sie die Umkehrfunktion..
> dazu brauche ich aber die Umkehrfunktion um Werte für die
> Kurve zu berechnen..........
Keinesfalls.
Du erhältst die Wertetabelle der Umkehrfunktion, wenn
du einfach von der Wertetabelle der Funktion f ausgehst
und dann die Rollen von x und y austauschst.
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
dann sizziere ich die Wertetabelle mit der Funktion
x= [mm] y^3 [/mm] +2y + 1 und zeichne die Kurve auf der x- Achse und y-Achse
gruss
lisa
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Hallo nochmal,
wenn du's nur skizzieren musst, zeichne die Ausgangsfunktion, die 1. Winkelhalbierende und spiegele [mm] $\pi\cdot{}\text{Daumen}$ [/mm] die Ausgangsfunktion daran ...
Gruß
schachuzipus
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