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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mi 01.12.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | [mm] y=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
N(1/0); P(-2/3); w(0/?) |
Hallo,
leider ist mir die Vorgehensweise bei Umkehraufgaben nicht ganz klar.
Ich bin mir immer nicht ganz sicher, was ich wo einsetzen muss, und hoffe dass mir jemand helfen kann. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Wenn man z.B. mal von der oben genannten Aufgabe ausgeht, dann habe ich da ja eine Nullstelle, einen Punkt und einen Wendepunkt.
Ich habe die Aufgabe bereits in einer durchgerechneten Version, weiß aber nicht nach welchem Schema die Werte eingesetzt wurden.
Zunächst würde ich die Ableitungen bilden:
[mm] y=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
[mm] y'=3ax^2+2bx+c
[/mm]
y''=6ax+2b
Dann würde ich mich der Nullstelle N(1/0) annehmen und diese in die Ausgangsgleichung [mm] y=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] einsetzen, da ich die Nullstellen ja auch mit dieser berechnen würde. Stimmt da meine Theorie so weit?
Es ergibt sich dann: [mm] a*1^3+b*1^2+c*1+d=0
[/mm]
Dann würde ich mich dem gegebenen Punkt (-2/3) annehmen, der anscheinend ein Extremwert sein soll.
Laut der Rechnung hier, soll dieser ebenfalls in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden, was mir aber nicht ganz klar ist, warum, da ich Extremwerte doch mit der ersten Ableitung errechne? [mm] a*(-)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d=3 [/mm]
Zusätzlich soll man aber auch noch in die erste Ableitung einsetzen: 3*a*(-2)+2*b*(-2)+c=0
Warum in zwei Funktionen?
Der Wendepunkt (6/?) hingegen soll nur in die "Wendepunktableitung", aslo in die dritte Ableitung eingesetzt werden. 6*a*0+2*b=0
Demnach hätte ich jetzt vier Gleichungen:
I) [mm] a*1^3+b*1^2+c*1+d=0
[/mm]
II) [mm] a*(-)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d=3 [/mm]
III) 3*a*(-2)+2*b*(-2)+c=0
IV) 6*a*0+2*b=0
Ich denke das ich nun mittels Eliminationsverfahren weiter rechnen soll, nur welche Gleichungen wähle ich hierfür? Alle? Und woran erkenne ich am besten welche Gleichung ich von welcher subtrahiere, da komme ich leider immer etwa durcheinander.
Besten Dank für die Hilfe!
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> [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
>
> N(1/0); P(-2/3); w(0/?)
> Hallo,
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> leider ist mir die Vorgehensweise bei Umkehraufgaben nicht
> ganz klar.
> Ich bin mir immer nicht ganz sicher, was ich wo einsetzen
> muss, und hoffe dass mir jemand helfen kann.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber immer doch ;) Nur erstmal ganz klar vorweg: Wo sind für dich die Hauptprobleme dieser Aufgabe? Du hast eine Funktion und drei Punkte, egal, welche das jetzt sind, ok?
1. Frage: Was soll überhaupt ermittelt werden? Antwort: Ein y-Wert für einen Punkt namens w, von dem ich nur raten kann, dass er ein Wendepunkt sein soll. Das müsstest du noch einmal ganz klar definieren, soll N wirklich Nullstelle sein? ;)
2. Frage: Wie kann ich generell diesen Wert ermitteln? Antwort: Indem ich den zugehörigen x-Wert einsetzte. Der ist ja gegeben.
3. dabei neu auftretendes Problem: Der x-Wert allein reicht hier nicht, da die FUnktion noch 4 Unbekannte (a-d) enthält. Also müssen diese durch verschiedene weitere Gleichungen ermittelt werden.
Klar soweit?
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> Wenn man z.B. mal von der oben genannten Aufgabe ausgeht,
> dann habe ich da ja eine Nullstelle, einen Punkt und einen
> Wendepunkt.
Wenn dem so ist, bin ich einverstanden, ansonsten rechnen wir beide ab jetzt wahllos herum, wenn W NICHT Wendepunkt bedeutet ;)
>
> Ich habe die Aufgabe bereits in einer durchgerechneten
> Version, weiß aber nicht nach welchem Schema die Werte
> eingesetzt wurden.
>
> Zunächst würde ich die Ableitungen bilden:
>
> [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> [mm]y'=3ax^2+2bx+c[/mm]
> y''=6ax+2b
kann ja nie schaden ;)
> Dann würde ich mich der Nullstelle N(1/0) annehmen und
> diese in die Ausgangsgleichung [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] einsetzen,
> da ich die Nullstellen ja auch mit dieser berechnen würde.
> Stimmt da meine Theorie so weit?
Was sollte daran nicht stimmen?
Das meine ich eben, mit "Plan erstellen". Natürlich kannst du jeden beliebigen Punkt, der dir gegeben ist, in die Ausgangsgleichung f(x) einsetzten. Das musst du sogar, denn dein Ziel ist es ja, so viele Gleichungen wie möglich zu erhalten, um a-d zu bestimmen. Dafür wären ja im schlimmsten Falle 4 Gleichungen erforderlich, nämlich für jede Unbekannte eine!
>
> Es ergibt sich dann: [mm]a*1^3+b*1^2+c*1+d=0[/mm]
>
> Dann würde ich mich dem gegebenen Punkt (-2/3) annehmen,
> der anscheinend ein Extremwert sein soll.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") warum? wo steht das? Wieso scheint dir das so? Für mich heißt der Punkt P und nirgendwo steht, dass P ein Extremum sein soll, oder? Damit ist P für mich erstmal nur ein Punkt P und damit liegt er eben auf f, dem Graphen von f(x), aber er hat nix mit der 1. Ableitung zu tun!
> Laut der Rechnung hier, soll dieser ebenfalls in die
> Ausgangsgleichung eingesetzt werden, was mir aber nicht
> ganz klar ist, warum, da ich Extremwerte doch mit der
> ersten Ableitung errechne? [mm]a*(-)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d=3[/mm]
siehe oben
>
> Zusätzlich soll man aber auch noch in die erste Ableitung
> einsetzen: 3*a*(-2)+2*b*(-2)+c=0
>
> Warum in zwei Funktionen?
Gute Frage, weiß ich nicht. Prinzipiell gilt aber, was dir offenbar nicht klar ist: Was ist ein Hochpunkt? Ist das ein ominöser Punkt, der außerhalb der Kurve liegt?? Wie soll das gehen? JEDER Punkt eines Graphen liegt auf em Graphen, auch Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte sowie Wendestellen und Sattelpunkte. Wenn also P ein Hochpunkt sein SOLLTE; so MUSST du ihn natürlich in f(x) und in f'(x) einsetzten, denn er erfüllt ja zwei Bedingungen: 1. Erfüllt er die allgemeine Funktionsgleichung f(x), denn sonst wäre er ja kein Punkt des Graphen und 2. erfüllt er die nicht Bedingung eines Extrempunktes, indem die erste Ableitung 0 wird.
Aber wie gesagt, ich sehe hier nicht gegeben, dass P ein Extremum sein soll. Wenn du diese Information hast, ok, aber dann hast du sie hier nicht mitgeteilt.
>
> Der Wendepunkt (6/?) hingegen soll nur in die
> "Wendepunktableitung", aslo in die dritte Ableitung
> eingesetzt werden. 6*a*0+2*b=0
Wieso die dritte? Soweit ich weiß, werden Wendepunkte mit der 2. Ableitung bestimmt! Wendepunkte sind die Punkte eines Graphen, wo sich der Kurvenverlauf bzw. die Krümmung ändert. In diesem Punkt ist die Steigung maximal. Das heißt für die erste Ableitung, es ergibt sich ein Hoch- oder Tiefpunkt. Und den kann man mit der zweiten Ableitung analog zu normalen Extrema bestimmen, indem die zweite Ableitung 0 werden muss. Die dritte brauchst du dann, um ganz sicher zu gehen (sog. hinreichende Bedingung)
Aber zu deiner Rechnung: Du hast den Wert in die zweite Ableitung $f''(x)=6ax+2b$ eingesetzt, und erhälst direkt: b=0. Damit hast du einen Parameter bestimmt und brauchst noch drei Gleichungen. Man könnte, da w ja auf dem Graphen liegt, auch noch die GLeichung:
f(0)=? hinschreiben, aber bringt wohl nicht so viel ;)
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> Demnach hätte ich jetzt vier Gleichungen:
>
> I) [mm]a*1^3+b*1^2+c*1+d=0[/mm]
> II) [mm]a*(-[/mm]2[mm])^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d=3[/mm]
> III) [mm] 3*a*(-2)^2+2*b*(-2)+c=0
[/mm]
> IV) 6*a*0+2*b=0
1. Gleichung stimmt, stammt von der NST
2. Gleichung stimmt, stammt vom Punkt P, eingesetzt in f(x)
3. Gleichung stimmt nicht, hier fehlt das Quadrat, und sie gilt nur, wenn P ein Extremum ist (Quadrat konnte ich leider nicht rot einfärben, daher steht es da schwarz)
4. Gleichung stimmt, stammt vom Wendepunkt, eingesetzt in f''(x)
>
> Ich denke das ich nun mittels Eliminationsverfahren weiter
> rechnen soll, nur welche Gleichungen wähle ich hierfür?
Gauß-Verfahren schonmal gehört? Natürlich alle Gleichungen. Schreibe sie dir untereinander hin und versuche, alle GLeichungen so lange miteinander zu addieren oder zu subtrahieren, bis du eine Unbekannte gelöst hast und z.B: in die anderen Gleichungen rückeinsetzten kannst. Wie gesagt, befass dich mal mit Lösungen von Linearen GLeichungssystemen
Wie gesagt, b = 0, damit vereinfacht sich das ganze. Dann kannst du b in die anderen Gleichungen einsetzten und c a eliminieren, um c zu erhalten und schließlich c und b in die 1. einsetzten, um a zu erhalten. Oder oder, hier gibt es viele Lösungen. Probiere mal ein wenig ;)
> Alle? Und woran erkenne ich am besten welche Gleichung ich
> von welcher subtrahiere, da komme ich leider immer etwa
> durcheinander.
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> Besten Dank für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort.
Hat mir schon weiter geholfen :) …
Ich habe nun eine Polynomfunktion 3. Grades, nämlich:
[mm] y=\bruch{1}{9}x^3-\bruch{4}{3}x+\bruch{11}{9}
[/mm]
Nun gilt es, anhand einer Kurvendiskussion die noch fehlenden Punkte, bzw. die Gleichung der Wendetangente auszurechnen.
Die Nullstellen würde ich, wie üblich durch Nullsetzen der Ausgangsgleichung errechnen:
[mm] \bruch{1}{9}x^3-\bruch{4}{3}x+\bruch{11}{9}=0 [/mm]
Nur, wie jetzt weiter? Die Gleichung ist nicht quadratisch und somit nicht mit der "Lösungsformel" lösbar.
Ich dachte an eine Polynomdivision, nur da bleibe ich hängen, bei:
[mm] \bruch{1}{9}x^3-\bruch{4}{3}x+\bruch{11}{9}:(x-1)=\bruch{1}{9}x^2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{9}x^3-\bruch{1}{9}x^2
[/mm]
Ich kann ja nun schlecht [mm] (-\bruch{1}{9}x^2) [/mm] von [mm] (-\bruch{4}{3}x) [/mm] subtrahieren. Wo liegt da nun der Fehler?
Besten Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du die Gl.
$ [mm] \bruch{1}{9}x^3-\bruch{4}{3}x+\bruch{11}{9}=0 [/mm] $
mit 9 durchmultiplizierst, bekommst Du:
[mm] $x^3-12x+11=0$
[/mm]
Nun sieht doch ein Blinder mit Krückstock, dass x=1 eine Lösung der Gl. ist
Jetzt Polynomdivision:
[mm] $(x^3-12x+11):(x-1)$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
@ Loddar: die Aufgabe geht aus der oberen Aufgabe hervor. Man soll nun eben nur eine Kurvendiskussion ausführen. Daher ich selben Thread. :)
@ Fred: Das ist schon klar. Nur geht sich das bei mir nicht aus. Ich rechne:
[mm] 1^3 [/mm] - 12x + 11 : (x-1) [mm] =x^2 [/mm] - x - 13
[mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2
[/mm]
0 [mm] -x^2 [/mm] -12x
[mm] -x^2 [/mm] +1x
0 -13x + 13
0 -2
Wo ist da der Fehler?
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> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
>
> @ Loddar: die Aufgabe geht aus der oberen Aufgabe hervor.
> Man soll nun eben nur eine Kurvendiskussion ausführen.
> Daher ich selben Thread. :)
>
> @ Fred: Das ist schon klar. Nur geht sich das bei mir nicht
> aus. Ich rechne:
>
> [mm]1^3[/mm] - 12x + 11 : (x-1) [mm]=x^2[/mm] - x - 13
> [mm]x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm]
> 0 [mm]-x^2[/mm] -12x
> [mm]-x^2[/mm] +1x
> 0 -13x + 13
> 0 -2
>
> Wo ist da der Fehler?
Ganz einfach: bei [mm] -x^2 [/mm] ;) Der erste Schritt mit [mm] x^2 [/mm] ist richtig, und du erhälst [mm] (x^3-x^2). [/mm] Das musst du aber dann subtrahieren! das ergibt:
[mm] x^3-x^3=0 [/mm] und [mm] 0-(-x^2)=x^2! [/mm] Demnach bleiben [mm] x^2-12x [/mm] übrig, und du beginnst den nächsten SChritt. Hoffe, das war verständlich, ich habe bisher keine gute Darstellung hier für Polynomdivisionen gefunden
Test:
[mm] \vmat{ (x^3 & &-12x & +11) & :(x-1)=x^2+x-11 \\ -(x^3 & -x^2) & & \\ 0 & +x^2 & -12x & & \\ & -(x^2 & -x) & & \\ & 0 & -11x & +11 & \\ & & -(-11x & +11) & \\ & & 0 & &}
[/mm]
Na was sagt man dazu!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Do 02.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Ah, da habe ich dann eine Null unterschlagen. Danke :) ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
Bitte eröffne in Zukunft für neue / unabhängige aufgaben auch jeweils einen separaten Thread.
Gruß
Loddar
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