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"Umgekehrte" Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Do 21.05.2009
Autor: Fry

Aufgabe
[mm] (\Omega,A,\mu) [/mm] sei ein Maßraum, [mm] A_0 [/mm] eine Algebra mit [mm] A=\sigma(A_0) [/mm] und f,g  seien [mm] \mu-integrierbare [/mm] Fkten. Zeigen Sie:
[mm] \integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu} [/mm] für alle [mm] B\in A_0\Rightarrow f\le [/mm] g [mm] \mu [/mm] fast sicher.
Hinweis: [mm] M=\{ B\in A, \integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu}\} [/mm] ist eine monotone Klasse.

Definition: [mm] \integral_{B}^{}{f d\mu}:=\integral_{}^{}{f*1_B d\mu} [/mm]

Hallo,

ich komme bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter. Da ja A Algebra, ist [mm] \sigma(A_0) [/mm] eine monotone Klasse, was auch der Tipp beinhaltet,aber dann...?  Hat jemand vielleicht Tipps für mich, wie ich ans Ziel kommen kann? Wäre echt super. Danke!

LG
Fry

        
Bezug
"Umgekehrte" Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Do 21.05.2009
Autor: felixf

Hallo Fry

> [mm](\Omega,A,\mu)[/mm] sei ein Maßraum, [mm]A_0[/mm] eine Algebra mit
> [mm]A=\sigma(A_0)[/mm] und f,g  seien [mm]\mu-integrierbare[/mm] Fkten.
> Zeigen Sie:
>  [mm]\integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu}[/mm] für
> alle [mm]B\in A_0\Rightarrow f\le[/mm] g [mm]\mu[/mm] fast sicher.
>  Hinweis: [mm]M=\{ B\in A, \integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu}\}[/mm]
> ist eine monotone Klasse.
>  
> Definition: [mm]\integral_{B}^{}{f d\mu}:=\integral_{}^{}{f*1_B d\mu}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich komme bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter. Da ja A
> Algebra, ist [mm]\sigma(A_0)[/mm] eine monotone Klasse, was auch der
> Tipp beinhaltet,aber dann...?  Hat jemand vielleicht Tipps
> für mich, wie ich ans Ziel kommen kann? Wäre echt super.
> Danke!

Du sollst zeigen, dass $M$ eine monotone Klasse ist. Nach Voraussetzung gilt [mm] $A_0 \subseteq [/mm] M$, womit aus dem []Satz ueber monotone Klassen folgt, dass $A = [mm] \sigma(A_0) \subseteq [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt, also $A = M$.

Jetzt wiederum solltet ihr einen Satz haben, der aus [mm] $\int_B [/mm] f [mm] d\mu \le \int_B [/mm] g [mm] d\mu$ [/mm] fuer alle $B [mm] \in [/mm] A$ folgert, dass $f [mm] \le [/mm] g$ [mm] $\mu$-fast [/mm] ueberall gilt. Damit folgt dann die Behauptung.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
"Umgekehrte" Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Fr 22.05.2009
Autor: Fry

Super, danke Felix, hab erst gedacht, dass die Eigenschaft sich automatisch von [mm] A_0 [/mm] auf A überträgt.

Gruß

Bezug
                        
Bezug
"Umgekehrte" Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:49 Fr 22.05.2009
Autor: felixf

Hallo Fry

> Super, danke Felix, hab erst gedacht, dass die Eigenschaft
> sich automatisch von [mm]A_0[/mm] auf A überträgt.

Ich denke es ist immer eine monotone Klasse, hauptsache $f$ und $g$ sind [mm] $\mu$-integrierbar. [/mm] Und wenn da halt genug drinnen liegt, muss $M = A$ sein, und genug drinnen liegen heisst z.B. dass [mm] $A_0$ [/mm] drinnen liegt (was nach Voraussetzung der Fall ist).

LG Felix


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