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Hallo, ich habe bei dem beweis einer divergenz einer Reihe folgenden Schritt, denn ich nicht so verstehe.
es geht um die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1+1/k)^{k^{2}} *e^{-k}.
[/mm]
für [mm] k\ge [/mm] 1 gilt: [mm] (1+1/k)^k [/mm] < e < [mm] (1+1/k)^{k+1} [/mm] und damit [mm] e^k [/mm] < [mm] (1+1/k)^{k(k+1)}. [/mm] jetzt versteh ich nicht, wie die auf folgendes kommen:
[mm] (1+1/k)^{-k} [/mm] < [mm] e^{-k}(1+1/k)^{k^2} [/mm] und für k [mm] \to \infty
[/mm]
1/e [mm] \le \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] e^{-k}(1+1/k)^{k^2} [/mm] und dies strebt nicht gegen 0, damit ist die Reihe divergent.
versteh die letzten beiden zeilenumformungen nicht so.
danke im voraus.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo, ich habe bei dem beweis einer divergenz einer Reihe
> folgenden Schritt, denn ich nicht so verstehe.
>
> es geht um die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(1+1/k)^{k^{2}} *e^{-k}.[/mm]
>
> für [mm]k\ge[/mm] 1 gilt: [mm](1+1/k)^k[/mm] < e < [mm](1+1/k)^{k+1}[/mm] und damit
> [mm]e^k[/mm] < [mm](1+1/k)^{k(k+1)}.[/mm] jetzt versteh ich nicht, wie die
> auf folgendes kommen:
>
> [mm](1+1/k)^{-k}[/mm] < [mm]e^{-k}(1+1/k)^{k^2}[/mm] und für k [mm]\to \infty[/mm]
[mm]0
aus 0<a<b folgt 0<1/b<1/a d.h. [mm] b^{-1}
das auf die Gleichung angewandt :
[mm] (1+1/k)^{-k(k+1)}
du solltest bei so Sachen versuchen selbst was rumzurechnen, man kann das ja immer in 2 Richtungen versuchen, und diese umformung ist wirklich nicht sehr schwer. das letzte ist dann nur noch lim darauf angewandt!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mo 31.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, danke dir.
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