Typ der Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(z)=\frac{2^4}{4+z^4}
[/mm]
Bestimme alle isolierten Singularitäten von f(z) und gib den Typ der Singularitäten an. |
Hallo,
die Singularitäten sind:
[mm] z_1 [/mm] = [mm] -(-1)^{1/4}\sqrt{2}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] (-1)^{1/4}\sqrt{2}
[/mm]
[mm] z_3 [/mm] = [mm] -(-1)^{3/4}\sqrt{2}
[/mm]
[mm] z_4 [/mm] = [mm] (-1)^{3/4}\sqrt{2}
[/mm]
Um den Typ der Singularitäten zu finden muss ich ja die Laurentreihe der Funktion finden. Dies will mir allerdings selten gelingen, da das Aufstellen der Laurentreihe mehr oder weniger planloses Umformen der Funktion ist, bis die Laurentreihe da steht.
Gibt es eine andere Möglichkeit den Typ der Singularitäten zu bestimmen?
Oder habt ihr einen Tip, wie man die Laurentreihe aufstellen kann?
LG,
HP
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(z)=\frac{2^4}{4+z^4}[/mm]
> Bestimme alle isolierten Singularitäten von f(z) und gib
> den Typ der Singularitäten an.
> Hallo,
>
> die Singularitäten sind:
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]-(-1)^{1/4}\sqrt{2}[/mm]
> [mm]z_2[/mm] = [mm](-1)^{1/4}\sqrt{2}[/mm]
> [mm]z_3[/mm] = [mm]-(-1)^{3/4}\sqrt{2}[/mm]
> [mm]z_4[/mm] = [mm](-1)^{3/4}\sqrt{2}[/mm]
Das sind die Singularitäten der gegebenen Funktion, allerdings solltest Du diese Wurzeln [mm] (-1)^{1/4} [/mm] und [mm] (-1)^{3/4} [/mm] noch anders darstellen in der Form "realteil +iImaginärteil.
>
> Um den Typ der Singularitäten zu finden muss ich ja die
> Laurentreihe der Funktion finden. Dies will mir allerdings
> selten gelingen, da das Aufstellen der Laurentreihe mehr
> oder weniger planloses Umformen der Funktion ist, bis die
> Laurentreihe da steht.
>
> Gibt es eine andere Möglichkeit den Typ der Singularitäten
> zu bestimmen?
Tipp :
eine isolierte Singularität [mm] z_0 [/mm] ist genau dann ein Pol, wenn [mm] \limes_{z\rightarrow z_0}|f(z)| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
FRED
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> Oder habt ihr einen Tip, wie man die Laurentreihe
> aufstellen kann?
>
> LG,
> HP
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hallo, danke für deine antwort.
lg,
hp
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aber dann weiß man ja noch nicht, welche ordnung dieser pol hat?
lg,
hp
Edit: was haltet ihr davon, wenn ich eine komplexe partialbruchzerlegung mache? dann müsste ich ja auf die laurent-reihe kommen?
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ok, hier ist die partialzerlegung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
als hinweis, wurde uns gesagt, dass, wenn man f(z) als partialbruchzerlegung darstellen kann, würde daraus folgen, dass die singularitäten von f(z) pole erster ordnung seien. wie kann man diesen schluss ziehen?
Edit: hieraus folgt ja auch, dass gilt:
(Res [mm] f)_{z_1} [/mm] = -1-i
(Res [mm] f)_{z_2} [/mm] = 1-i
(Res [mm] f)_{z_3} [/mm] = 1+i
(Res [mm] f)_{z_4} [/mm] = -1+i
aber ich weiß ja nicht, ob der hauptteil der laurentreihe um das jeweilige [mm] z_i [/mm] nach k Glieder abbricht, d.h. [mm] a_n [/mm] = 0 für n<-k (daraus könnte man dann schließen, dass die jeweilige singularität [mm] z_i [/mm] eine polstelle k-ter ordnung ist)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Do 16.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft das:
Eine Funktion f habe in [mm] z_0 [/mm] einen Pol und es sei [mm] m\in \IN.
[/mm]
[mm] z_0 [/mm] ist ein Pol der Ordnung m [mm] \gdw
[/mm]
die Funktion h(z)= [mm] (z-z_0)^mf(z) [/mm] hat in [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität und [mm] h(z_0) \not= [/mm] 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 20.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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