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| Aufgabe | | Das kegelförmige Dach eines Turms hat einen Rauminhalt von [mm] 6m^3.Welcher [/mm] Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] ist zu wählen , damit die zu deckende Dachfläche ein min. ist?Wie goß ist der Radius des Kegels? |
Hallo!
Mein Ergbniss ist laut Lösungsbuch falsch und ich finde keinen Fehler.Könnte mir bitte jemand behilflich sein?
Meine Ansätze:
[mm]6=\frac{r^3\pi tan(\alpha)}{3}\qquad r=\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}\qquad M(\alpha)=\frac{\sqrt[3]{(\frac{18}{\pi tan(\alpha)})^2}}{cos(\alpha)}\qquad M'(\alpha)=\frac{\frac{-18cos(\alpha)}{\pi sin^2(\alpha)\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)})}}+sin(\alpha)\sqrt[3]{(\frac{18}{\pi tan(\alpha)})^2}}{cos^2(\alpha)}=\frac{-18+18sin^2(\alpha)}{cos(\alpha)\pi sin^2(\alpha)\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}}\qquad -18+18sin^2(\alpha)=0\qquad\alpha=\arcsin(\sqrt{1})+k360°[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
du hast ein [mm] $\pi$ [/mm] im Zähler von [mm] $M(\alpha)$ [/mm] vergessen.
Gruß
Slartibartfast
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Hallo und danke für die Hilfe!
Ich habe die Konst. [mm] \pi [/mm] vernachlässigt weil das doch bei der Extremwertbestimmung erlaubt ist, oder?Das Ergebniss sollte 54,74° sein, oder handelt es sich um einen Druckfehler?![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Scheint ja in meinen Buch zu meinen Leidwesen häufiger vorzukommen...
Gruß
Angelika
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> Ich habe die Konst. [mm]\pi[/mm] vernachlässigt weil das doch bei
> der Extremwertbestimmung erlaubt ist, oder?
Hallo,
man muß ein bißchen unterscheiden:
für die reine Berechnung der Stelle, an welcher ein Extremwert vorliegt brauchst Du den Faktor nicht.
Aber: die Mantelfläche stimmt nicht, wenn Du den Faktor [mm] \pi [/mm] fortläßt, und das könnte dazu führen, daß die Dachdecker zu wenig Kupfer, Ziegeln oder was weiß ich kaufen.
Wenn Du das Ding also Mantelfläche nennst, muß das [mm] \pi [/mm] mitgenommen werden.
Gruß v. Angela
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Es gibt doch eine Formel für a) das Volumen und b) die Dachfläche eines Kegels
In diesen Formel kommen Größen wie Radius, Höhe und Seitenhöhe vor.
(Du müsstest diese Formeln vorliegen haben, da du ansonsten die Aufgabe überhaupt nicht lösen könntest)
Der Einfachheit halber solltest du nicht gleich den Winkel einbeziehen, sondern erst ganz am Ende, wenn du das Verhältnis zwischen Radius und Höhe hast.
Der Winkel dürfte außerdem nicht von der Größe des Volumens abhängen (also bei 6 Kubikmeter ist er nicht anders als bei 20 Kubikmeter). Somit könntest du anstelle der 6 auch eine Konstante C wählen.
Ich denke, dann wird der ganze Rechenweg einfacher.
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Danke für den Tipp!
Meines wissens habe ich die richtigen Formeln verwendet...oder? Stimmt , ich hätte den Winkel auch später miteinbeziehen können aber ich hoffe es stimmt trotzdem. Nächstes mal gehe ich diesen Weg, aber das hat nichts mit dem Fehler zu tun, oder?
Gruß
Angelika
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> Das kegelförmige Dach eines Turms hat einen Rauminhalt von
> [mm]6m^3.Welcher[/mm] Neigungswinkel [mm]\alpha[/mm] ist zu wählen , damit
> die zu deckende Dachfläche ein min. ist?
> Hallo!
>
> Mein Ergbniss ist laut Lösungsbuch falsch und ich finde
Hallo,
also, ich weiß ja nicht...
Könnte es sein, daß die ganze Aufgabe irgendwie ein Flop ist?
> Meine Ansätze:
>
> [mm] 6=\frac{r^3\pi tan(\alpha)}{3}\qquad r=\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}\qquad M(\alpha)=\frac{\sqrt[3]{(\frac{18}{\pi tan(\alpha)})^2}}{cos(\alpha)}\qquad [/mm]
> [mm] M'(\alpha)=\frac{\frac{-18cos(\alpha)}{\pi sin^2(\alpha)\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}}+sin(\alpha)\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}}{cos^2(\alpha)}=\frac{-18+18sin^2(\alpha)}{cos(\alpha)\pi sin^2(\alpha)\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}}\qquad -18+18sin^2(\alpha)=0\qquad\alpha=\arcsin(\sqrt{1})+k360°
[/mm]
Ich bin heute morgen noch nicht so nervenstabil, daß ich trigonometrische Funktionen in größerem Maßstabe ableiten möchte, bis zu M stimmt's jedenfalls, wenn man von dem bereits angemerkten fehlenden Faktor [mm] \pi [/mm] absieht.
Ich kann nur rabileins Rat unterstreichen: berechne den Winkel erst ganz am Ende, das ist viel bequemer.
Aber jetzt mal zur Aufgabe an sich.
Ich stelle mir vor, daß da ein zylinderförmiger Turm steht, Radius R, welcher ein neues Dach bekommen soll, welches aus unerfindlichen Gründen ausgerechnet ein Volumen von [mm] 6m^3 [/mm] haben soll.
So. Der Radius r der Grundfläche des Kegelförmigen Daches muß ja mindestens =R sein.
Wenn vorgegeben ist, daß er =R ist, haben wir keinerlei Auswahl. Damit liegt die Höhe fest, und folglich auch die Dachneigung.
Radius r=R ==> [mm] h=\bruch{18}{\pi R^2}.
[/mm]
Damit haben wir den tangens des Neigungswinkels: [mm] tan\alpha=\bruch{\bruch{18}{\pi R^2}}{R}=\bruch{18}{\pi R^3} [/mm] - aber solange uns keiner verrät, wie dick der Turm ist, können wir das nicht ausrechnen. Nicht als Zahl, meine ich. Es fehlt der Radius oder Umfang des Turmes.
(Ich hab' jetzt mal das Ergebnis des Buches genommen: [mm] \alpha=54.74°, [/mm] und den notwendigen Radius zurückgerechnet: ich bekomme damit einen Turmradius von [mm] \approx [/mm] 1.60 m. Dürftiges Türmchen.)
Aber weiter geht's: es könnte ja sein, daß das Dach nicht bündig aud dem Turm sitzen soll, sondern mit Überstand, daß also der Radius r der Grundfläche des Dachkegels [mm] \ge [/mm] R sein soll.
EDIT:
Die Mantelfläche in Abhängigkeit von r ist M(r)=$ [mm] =\wurzel{\bruch{9*36}{r^{2}}+\pi²r^{4}} [/mm] $, und die muß man nun minimieren. Bloß es fehlt dieRandbedingung, der Radius des Turms.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Mo 08.09.2008 | | Autor: | statler |
Hi allerseits!
> Könnte es sein, daß die ganze Aufgabe irgendwie ein Flop
> ist?
Das könnte allerdings sein. Wenn das Dach bündig auf dem Turm sitzt, gibt es doch nur eine Möglichkeit für die Höhe, diesen Rauminhalt zu erzeugen. Die Fläche ist dann, wie sie ist. Genauso ist es, wenn das Dach wie ein Spitzhut auf dem Turm sitzt, dann kann man die Fläche nur vergrößern. Die einzig sinnvolle Aufgabenstellung entsteht doch, wenn man den Turm Turm sein läßt und eine spitze Hütte auf den flachen Boden stellt.
Und wo steht überhaupt, daß der Turm rund ist?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo und erstmal vielen Dank für die vielen Reaktionen!
Könnte sein das die Aufgabe ein Flop ist, aber eher unwahrscheinlich, da ich die Aufgabe aus einem Mathebuch entnommen habe.Ich hatte aber einen Tippfehler in meiner Ableitung den ich jetzt editiert habe, das Ergebniss war jedoch richtig getippt.
bis zu M stimmt's jedenfalls, wenn man von dem
> bereits angemerkten fehlenden Faktor [mm]\pi[/mm] absieht.
Aber wenn ich den Faktor stehenlasse komme ich doch auf das gleiche Ergebniss, oder?
[mm]\pi18sin^2(\alpha)-\pi18=0\qquad\alpha=90°+k360°[/mm]
>
> So. Der Radius r der Grundfläche des Kegelförmigen Daches
> muß ja mindestens =R sein.
> Wenn vorgegeben ist, daß er =R ist, haben wir keinerlei
> Auswahl. Damit liegt die Höhe fest, und folglich auch die
> Dachneigung.
>
> Radius r=R ==> [mm]h=\bruch{18}{\pi R^2}.[/mm]
>
> Damit haben wir den tangens des Neigungswinkels:
> [mm]tan\alpha=\bruch{\bruch{18}{\pi R^2}}{R}=\bruch{18}{\pi R^3}[/mm]
> - aber solange uns keiner verrät, wie dick der Turm ist,
> können wir das nicht ausrechnen. Nicht als Zahl, meine ich.
> Es fehlt der Radius oder Umfang des Turmes.
Kann man diese Beziehung nicht als Nebenbedingung verwenden und(wie ich es oben getan habe) in die Hauptfunktion einsetzten?Dann wäre die Mantelfläche doch nur mehr von [mm] \alpha [/mm] abhängig.(Da ja der Radius und [mm] \alpha [/mm] bei gegebenen Volumen gesucht ist)
[mm]r=\sqrt[3]{\frac{18}{\pi\tan(\alpha)}}\qquad s=\frac{r}{cos(\alpha)}\qquad M(\alpha)=\pi*r*\frac{r}{cos(\alpha)}[/mm]
Die ganze Sache hat sich nun erledigt: ich habe den Fehler gefunden!!![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Der Fehler fand sich bei der Ableitung:
$ [mm] 6=\frac{r^3\pi tan(\alpha)}{3}\qquad r=\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}\qquad M(\alpha)=\frac{\sqrt[3]{(\frac{18}{\pi tan(\alpha)})^2}}{cos(\alpha)}\qquad M'(\alpha)=\frac{\frac{-{\red 2*}18cos(\alpha)}{{\red 3}\pi sin^2(\alpha)\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)})}}+sin(\alpha)\sqrt[3]{(\frac{18}{\pi tan(\alpha)})^2}}{cos^2(\alpha)}=\frac{- 36+54sin^2(\alpha)}{tan(\alpha)*cos^2(\alpha)\pi sin(\alpha)\sqrt[3]{\frac{18}{\pi tan(\alpha)}}}\qquad -36+54sin^2(\alpha)=0\qquad\alpha=\arcsin(\sqrt{\frac{36}{54}})+k360°\qquad \alpha=54,73° [/mm] $
> Gruß v. Angela
>
> Gruß
Angelika
>
>
>
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> Hallo und erstmal vielen Dank für die vielen Reaktionen!
>
> Könnte sein das die Aufgabe ein Flop ist, aber eher
> unwahrscheinlich, da ich die Aufgabe aus einem Mathebuch
> entnommen habe.Ich hatte aber einen Tippfehler in meiner
> Ableitung den ich jetzt editiert habe, das Ergebniss war
> jedoch richtig getippt.
>
> bis zu M stimmt's jedenfalls, wenn man von dem
> > bereits angemerkten fehlenden Faktor [mm]\pi[/mm] absieht.
>
> Aber wenn ich den Faktor stehenlasse komme ich doch auf das
> gleiche Ergebniss, oder?
Hallo,
ja, ich hatte das ja an anderer Stelle im Thread erklärt.
>
> [mm]\pi18sin^2(\alpha)-\pi18=0\qquad\alpha=90°+k360°[/mm]
Kommt Dir Dein Ergebnis sinnvoll vor? Neigungswinkel 90°???
Vielleicht postest Du auch mal die Aufgabe im Originalwortlaut. Vielleicht fehlt in Deiner Aufgabenstellung ja was.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
> Kommt Dir Dein Ergebnis sinnvoll vor? Neigungswinkel
> 90°???
>
Nein, deshalb habe ich mich hier im Matheraum gemeldet...
> Vielleicht postest Du auch mal die Aufgabe im
> Originalwortlaut. Vielleicht fehlt in Deiner
> Aufgabenstellung ja was.
Stimmt leider hat ein kleiner Satz gefehlt, tut mir leid, habe ihn vergessen hinzuschreiben. Habe soeben editiert...
Vielen Dank für die Geduld!
Angelika
>
> Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mo 08.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde erstmal den Winkel "aussen vor" lassen, und erstmal ohe ihn arbeiten.
Also:
[mm] M=r*s*\pi
[/mm]
(s ist dabei die Mantellinie des Kegels)
Mit dem Satz des Pythagoras gilt: s²=r²+h²
Also:
[mm] M=\pi*r*\wurzel{h²+r²}
[/mm]
Jetzt gilt: [mm] V=\bruch{\pi*r²*h}{3}
[/mm]
[mm] \gdw h=\bruch{3V}{\pi*r²}
[/mm]
Also:
[mm] M=\pi*r*\wurzel{\left(\bruch{3V}{\pi*r²}\right)^{2}+r²}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\pi²*r²\left(\bruch{9V²}{\pi²*r^{4}}+r²\right)}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{9V²*\pi²*r²}{\pi²*r^{4}}+\pi²r^{4}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{9V²}{r^{2}}+\pi²r^{4}}
[/mm]
Das erleichtert das Ableiten, und damit das bestimmen des Minimums.
Hast du dann den Radius und die Höhe des Minimums, kannst du danach den Winkel [mm] \alpha [/mm] bestimmen.
Marius
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