Tschebyschow-poly. beschränkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] T_{n} [/mm] ein Tschebyschow polynom erster Art.
Auf welchen mengen in der komplexen Ebene ist [mm] T_{n} [/mm] beschränkt. |
Hi,
ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich das hier machen soll. Mir wurde gesagt, dass es für beschränkte Mengen in der komplexen Ebene sei, ich wüsste aber nicht, wie das zu beweisen ist.
Kann mich jemand auf die richtige Fährte setzen ?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 So 06.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]T_{n}[/mm] ein Tschebyschow polynom erster Art.
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> Auf welchen mengen in der komplexen Ebene ist [mm]T_{n}[/mm]
> beschränkt.
> Hi,
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> ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich das hier machen
> soll. Mir wurde gesagt, dass es für beschränkte Mengen in
> der komplexen Ebene sei, ich wüsste aber nicht, wie das zu
> beweisen ist.
>
> Kann mich jemand auf die richtige Fährte setzen ?
Das Polynom [mm] T_n [/mm] ist ein Polynom vom Grade n.
Jedes Komplexe Polynom [mm] P(z):=\summe_{k=0}^{n}a_nz^n [/mm] ist auf einer beschränkten Teilmenge M von [mm] \IC [/mm] beschränkt:
Denn ist |z| [mm] \le [/mm] c für jedes z [mm] \in [/mm] M, so ist
|P(z)| [mm] \le \summe_{k=0}^{n}|a_n|c^n [/mm] für z [mm] \in [/mm] M
FRED
>
> LG
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Hallo fred,
danke für deine Antwort. Ist das schon alles ? Die kam mir so schwer und kompliziert vor...
> > Sei [mm]T_{n}[/mm] ein Tschebyschow polynom erster Art.
> >
> > Auf welchen mengen in der komplexen Ebene ist [mm]T_{n}[/mm]
> > beschränkt.
> > Hi,
> >
> > ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich das hier machen
> > soll. Mir wurde gesagt, dass es für beschränkte Mengen in
> > der komplexen Ebene sei, ich wüsste aber nicht, wie das zu
> > beweisen ist.
> >
> > Kann mich jemand auf die richtige Fährte setzen ?
>
> Das Polynom [mm]T_n[/mm] ist ein Polynom vom Grade n.
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> Jedes Komplexe Polynom [mm]P(z):=\summe_{k=0}^{n}a_nz^n[/mm] ist auf
> einer beschränkten Teilmenge M von [mm]\IC[/mm] beschränkt:
>
> Denn ist |z| [mm]\le[/mm] c für jedes z [mm]\in[/mm] M, so ist
>
> |P(z)| [mm]\le \summe_{k=0}^{n}|a_n|c^n[/mm] für z [mm]\in[/mm] M
Ist es ier in Ordung mit Beträgen zu arbeiten ? Müsste ich nicht zeigen [mm] P(z)\leq [/mm] M [mm] \vorall z\in\IC [/mm] oder ist es das hier ausreichend weil wir in [mm] \IC [/mm] arbeiten ?
Muss man dann noch beweisen, dass für jede unbescheschränkte teilmenge in [mm] \IC [/mm] das polynom auch unbeschränkt ist ?
> FRED
> >
> > LG
>
LG
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Hallo,
um nochmal ganz konkret zu fragen: Ich möchte zeigen, dass auf einer unbeschränkte Menge [mm] M\subset\IC [/mm] das Tschebycheff-Polynom unbeschränkt ist.
Sei [mm] z\in [/mm] M und [mm] \forall [/mm] C>0 [mm] \exists z\in [/mm] M so dass |z|>C (also M unbeschränkt). Nun ist [mm] |P(z)|=\left|\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\right|=|a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+...+a_{n}z^{n}|
[/mm]
Ich finde leider keine vernünftigen abschätzungen um zu zeigen, dass das unbeschränkt ist für M unbeschränkt. Ist es evtl sinnvoll P(|z|) zu betrachten ?
Wäre dankbar für jeden Tipp !
Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 10.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] $p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+...+a_{n}z^{n}$ [/mm] und [mm] a_n \ne [/mm] 0.
Weiter sei R [mm] \ge [/mm] 1 und
$ R [mm] \ge [/mm] 2* [mm] \bruch{|a_0|+...+|a_{n-1}|}{|a_n|}$
[/mm]
Zeige:
$2*|p(z)| [mm] \ge |a_n|*|z|^n$ [/mm] für |z| [mm] \ge [/mm] R
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 10.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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