Trivialer Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 03.06.2010 | | Autor: | mezzo |
| Aufgabe | | Zwischen zwei Monoiden [mm] H_{1} [/mm] und [mm] H_{2} [/mm] gibt es immer einen trivialen Homomorphismus: phi: [mm] H_{1} \to H_{2} [/mm] definiert durch phi(a) = [mm] e_{2} [/mm] für alle a [mm] \in H_{1}. [/mm] Denn für phi gilt: phi(x * y) = [mm] e_{2} [/mm] = [mm] e_{2} [/mm] * [mm] e_{2} [/mm] = phi(x) * phi(y) für alle x, y [mm] \in H_{1}. [/mm] |
Hallo zusammen,
diese Aussage (ist keine wirkliche Aufgabe) steht im Buch "Algebraische Grundlagen der Informatik".
Wahrscheinlich ist es sehr "trivial" (so nennt es zumindest immer unser Professor) aber ich verstehe die Aussage nicht wirklich.
Folgende Fragen ergeben sich für mich:
1.) Was bedeutet "für alle a [mm] \in H_{1}"? [/mm] Ist damit ein bestimmtes Element gemeint oder alle Elemente der Menge?
2.) Wieso ist phi(x * y) = [mm] e_{2}? [/mm] Ich verstehe hier bei nicht warum dabei genau das Einselement herauskommen soll.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Do 03.06.2010 | | Autor: | algieba |
Hi mezzo
> Zwischen zwei Monoiden [mm]H_{1}[/mm] und [mm]H_{2}[/mm] gibt es immer einen
> trivialen Homomorphismus: phi: [mm]H_{1} \to H_{2}[/mm] definiert
> durch phi(a) = [mm]e_{2}[/mm] für alle a [mm]\in H_{1}.[/mm] Denn für phi
> gilt: phi(x * y) = [mm]e_{2}[/mm] = [mm]e_{2}[/mm] * [mm]e_{2}[/mm] = phi(x) * phi(y)
> für alle x, y [mm]\in H_{1}.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> diese Aussage (ist keine wirkliche Aufgabe) steht im Buch
> "Algebraische Grundlagen der Informatik".
>
> Wahrscheinlich ist es sehr "trivial" (so nennt es zumindest
> immer unser Professor) aber ich verstehe die Aussage nicht
> wirklich.
>
> Folgende Fragen ergeben sich für mich:
>
> 1.) Was bedeutet "für alle a [mm]\in H_{1}"?[/mm] Ist damit ein
> bestimmtes Element gemeint oder alle Elemente der Menge?
Für alle [mm] a\in H_{1} [/mm] bedeutet, dass die Eigenschaft für alle Elemente aus der Menge [mm] H_{1} [/mm] gilt, das bedeutet in diesem Fall also, dass der Homomorphismus jedes Element aus [mm] H_{1} [/mm] auf [mm] e_{2} [/mm] abbildet
>
> 2.) Wieso ist phi(x * y) = [mm]e_{2}?[/mm] Ich verstehe hier bei
> nicht warum dabei genau das Einselement herauskommen soll.
>
Da ja jedes Element auf auf [mm] e_{2} [/mm] abgebildet wird, wird auch $x*y$ auf [mm] e_{2} [/mm] abgebildet.
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
algieba
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