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Hallo,
Ich habe ein Problem eine bestimmte Umformung nachzuvollziehen und hoffe, dass mir hier jemand damit helfen kann.
Ich beziehe mich dabei auf diese ![[]](/images/popup.gif) Application note, Gleichung 26.
(Das aber nur um den Hintergrund zu liefern, um das mathematische Problem nachzuvollziehen muss sich das Dokument keiner durchlesen, es geht alles aus diesem Post hervor.)
Wie aus dem Dokument ersichtlich, geht es darum, aus Messdaten eines Beschleunigungsmessers Roll- und Pitch-Winkel auszurechnen. Die Messdaten liegen als Vektor für x-, y- und z-Achse vor:
[mm] G_{p} [/mm] = [mm] \vektor{ G_{p,x} \\ G_{p,y} \\ G_{p,z} }
[/mm]
Nun wird [mm] G_{p} [/mm] mathematisch als Multiplikation des Gravitationsvektors in neutraler Lage, [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, [/mm] mit Rotationsmatrizen für jede der drei Achsen aufgefasst. Ich beziehe mich dabei auf die Reihenfolge xyz bei der Matrixmultiplikation, somit wird ein Messdatenvektor folgendermaßen interpretiert:
[mm] \bruch{G_{p}}{||G_{p}||} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{G_{p,x}^{2} + G_{p,y}^{2} + G_{p,z}^{2}}} [/mm] * [mm] \vektor{ G_{p,x} \\ G_{p,y} \\ G_{p,z} } [/mm] = [mm] \vektor{ -sin \theta \\ cos \theta * sin \phi \\ cos \theta * cos \phi }
[/mm]
wobei [mm] \theta [/mm] der Pitch und [mm] \phi [/mm] der Roll-Winkel ist. (Nähere Details bitte dem Dokument entnehmen, macht wohl keinen Sinn das alles hier abzuschreiben.)
Wie komme ich nun an die Winkel [mm] \theta [/mm] und [mm] \phi, [/mm] wenn ich nur den Messvektor [mm] \vektor{ G_{p,x} \\ G_{p,y} \\ G_{p,z} } [/mm] kenne?
Für [mm] \phi [/mm] ist es offenbar recht einfach, da hier nur [mm] G_{p,y} [/mm] durch [mm] G_{p,z} [/mm] dividiert werden muss, um tan [mm] \phi [/mm] zu erhalten, cos [mm] \theta [/mm] kürzt sich weg (siehe auch Gleichung 25 in der Application Note).
Nur wie geht man für [mm] \phi [/mm] vor? Gleichung 26 lautet ja folgendermaßen:
tan [mm] \theta [/mm] = [mm] \bruch{-G_{p,x}}{G_{p,y}*sin \phi + G_{p,z}*cos \phi} [/mm] = [mm] \bruch{-G_{p,x}}{\wurzel{G_{p,y}^{2} + G_{p,z}^{2}}}
[/mm]
Aber wie kommt man darauf? Kann mir jemand diese Umformung erklären?
Nach längerer Google-Suche bin ich immer nur wieder auf dieselbe fertige Formel gestoßen, nirgends wurde erklärt wie sie hergeleitet wird. Ich wäre also für eine Erklärung sehr dankbar!
--onkel_keks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Fr 08.02.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] -G_{p,x}=||G_p||*sin\theta
[/mm]
[mm] G_{p,y}=||G_p||*cos\theta*sin\phi
[/mm]
[mm] G_{p,z}=||G_p||*cos\theta*cos\phi
[/mm]
Also
[mm] G_{p,y}^2+G_{p,z}^2=||G_p||^2cos\theta^2\left(sin\phi^2+cos\phi^2\right)=||G_p||^2cos\theta^2
[/mm]
[mm] \bruch{-G_{p,x}}{\wurzel{G_{p,y}^2+G_{p,z}^2}}=\bruch{||G_p||*sin\theta}{\wurzel{||G_p||^2cos\theta^2}}=tan\theta
[/mm]
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