Trigonometrische Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimme durch Trigonometrische Substitution das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{\wurzel{9x^2+4}}}
[/mm]
a) für tan
b) für sin
c) für sec |
Moin,
zwar habe ich ein paar Lösungshinweise, die ich aber nicht verstehe...
1. Umschreibung
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{\wurzel{9x^2+4}}} =\integral_{}^{}{\bruch{dx}{\wurzel{(3x)^2+2^2}}}
[/mm]
ok, das kann ich noch nachvollziehen, frage mich nur, wozu?
aber wie soll ich das umschreiben in
[mm] \wurzel{4^2+a^2} [/mm] ???
2. Zeichne ein rechtsseitiges Dreieck - SghKahTga -,wobei tan(0) = [mm] \bruch{u}{a} [/mm] ist,nämlich [mm] \bruch{3x}{2}
[/mm]
Was bedeutet SghKahTga?
Denke mir das so, links ist der Punkt A, auf gleicher Höhe weitr rechts ist der Punkt B und der rechte Winkel in B. Und der Punkt C befindet sich dann über dem Punkt B.
mit
[mm] \overline{BC}= [/mm] u
[mm] \overline{AB}= [/mm] a
Kann man dann folgern, dass [mm] \bruch{u}{a} [/mm] = [mm] \bruch{3x}{2} [/mm]
3. Löse tan(0) = [mm] \bruch{3x}{2} [/mm] nach x auf.
Das würde bedeuten 0 = [mm] \bruch{3x}{2} [/mm] => x=0
4. Stelle fest, welche Trigonometrische Funktion durch die Wurzel über dem a dargestellt wird und löse nach der Wurzel auf.
Erstmal bis hier hin!
Wer kann helfen?
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 28.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Woher hast du denn den Text mit sowas wie Sgh...
bist du sicher, daas da [mm] \wurzel{4^2+a^2} [/mm] und nicht [mm] \wurzel{u^2+a^2} [/mm] steht? dann waere a=2 u=3x
Das erwaehnte rechtwinklige Dreieck haette die Katheten u und a, die Hypothenuse [mm] \wurzel{u^2+a^2}
[/mm]
und das tan0 bedeutet nicht tan(Null) sondern tan des Winkels zwischen Kathete a und Hyp. der vielleicht [mm] \omega [/mm] heisst?
Also nimm mal an so gehts und mach da weiter.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:59 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
hallo leduart,
der aufgabenzettel scheinen ja mehrere fehler zu sein...
hier die fragliche aufgabe - im orginal -
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
ok, ich schaue mal, wie weit ich mit deinen hinweisen komme. 
Also weiter...
tan(0) = [mm] \bruch{u}{a}
[/mm]
u = a*tan(0)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u^2+a^2}} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{u^2}{a^2}+1}} dx}
[/mm]
Substitution
[mm] \bruch{u}{a} [/mm] = tan(0)
u = a*tan(0)
u' = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] a*(1+tan^2(0))
[/mm]
einsetzen
[mm] \bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{(a*tan(0))^2}{a^2}+1}}*a*(1+tan^2(0)) du}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{(tan^2(0)+1}}*a*(tan^2(0)+1) du}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{a*\wurzel{(tan^2(0)+1)} du}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Oder ist es besser tan(0) ' als cos bzw. sec zu schreiben??
= 1 + [mm] tan^2(0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos^2(0)} [/mm] = [mm] sec^2(0) [/mm]
4. Stelle fest, welche trigonometrische Funktion durch die Wurzel über dem a dargestellt wird und löse nach der Wurzel auf.
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(tan^2(0)+1}) du}
[/mm]
Wie kann ich davon die Stammfunktion bilden, das Integral berechnen?
5. Verwende die Ergebnisse aus 2. (Zeichne das rechtseitige Dreieck s.o.) und 3. (Löse tan(0) = 3x / 2 für x auf, differenziere und löse nach dxauf...
6. Setze die x-Ausdrücke aus 1.) und 3.) wieder für sec(0) und tan(0) ein.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Sa 28.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast dein bild falsch eingegeben.
entweder ein url, besser noch ein echter Bildanhang. sieh unter dem Eingabefenster nach, wie man das macht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 01.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ist das soweit richtig?
tan(0) = [mm]\bruch{u}{a}[/mm]
u = a*tan(0)
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u^2+a^2}} dx}[/mm]
[mm]\bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{u^2}{a^2}+1}} dx}[/mm]
Substitution
[mm]\bruch{u}{a}[/mm] = tan(0)
u = a*tan(0)
u' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]a*(1+tan^2(0))[/mm]
einsetzen
[mm]\bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{(a*tan(0))^2}{a^2}+1}}*a*(1+tan^2(0)) du}[/mm]
[mm]\bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{(tan^2(0)+1}}*a*(tan^2(0)+1) du}[/mm]
[mm]\bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{a*\wurzel{(tan^2(0)+1)} du}[/mm]
Oder ist es besser tan(0) ' als cos bzw. sec zu schreiben??
= 1 + [mm]tan^2(0)[/mm] = [mm]\bruch{1}{cos^2(0)}[/mm] = [mm]sec^2(0)[/mm]
4. Stelle fest, welche trigonometrische Funktion durch die Wurzel über dem a dargestellt wird und löse nach der Wurzel auf.
[mm]\integral_{}^{}{\wurzel{(tan^2(0)+1}) du}[/mm]
Wie kann ich davon die Stammfunktion bilden, das Integral berechnen?
5. Verwende die Ergebnisse aus 2. (Zeichne das rechtseitige Dreieck s.o.) und 3. (Löse tan(0) = 3x / 2 für x auf, differenziere und löse nach dx auf...
6. Setze die x-Ausdrücke aus 1.) und 3.) wieder für sec(0) und tan(0) ein.
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Aufgabe und die Anleitung enthalten so viele unglaubliche Fehler, dass ich nicht mehr glaube, dass du die Aufgabe, auch mit dieser anleitung loesen kannst. Die loesung ist die Umkehrfunktion des sinh des sogenannten sinus hyperbolicus, und kein Weg den ich kenne fuehrt ueber trigonometrische funktionen.
was du gemacht hast sieht nach den Anleitungen, soweit sie verstaendlich sind sehr vernuenftig aus. Mir scheint das aber eher ein Karnevalsscherz, den sich jemand mit dir erlaubt hat.
Denn mit dem Ergebnis kann ich auch nichts anfangen.
Gruss leduart
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