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| Aufgabe | Ermitteln Sie die Nullstellen folgender Gleichung:
f(x)= cos(x)-cos(0,5x)+1 ! |
Wieso erhält man bei Umstellen der Gleichung (-1) 2pi und bei Anwendung des arccos pi?
cos(x)-cos(0,5x)+1=0 II arccos
x-0,5x+arccos(1)= arccos(0)
x=pi
cos(x)-cos(0,5x)+1 =0 II -1
cos(x)-cos(0,5x) = -1 II arccos
x = 2pi
?????????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo schlaumeier!
Wenn Du auf eine Gleichung den [mm] $\arccos$ [/mm] anwendest, musst Du dies auch jeweils auf die gesamte Seite der Gleichung anwenden, und nicht termweise!
Zur Lösung dieser Gleichung verwende z.B. folgendes Additionstheorem:
[mm] $\cos\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2+2*\cos(x)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\cos(x)-\bruch{1}{2}*\wurzel{2+2*\cos(x)}+1 [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $2*\cos(x)+2 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{2+2*\cos(x)}$
[/mm]
Durch Substitution $z \ := \ [mm] 2+2*\cos(x)$ [/mm] erhält man dann:
[mm] $\gdw$ [/mm] $z \ = \ [mm] \wurzel{z}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $z^2 [/mm] \ = \ z$
usw.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Erstmal Gratulation zum Bauingenieur!
Deine Antwort bringt mich weiter, hab Dank.
Eine Frage hab ich darauf aber noch. Als Lösung erhalte ich für x 2/3pi.
Allerdings gibts auch die Lösung (2n+1)pi.
Wie komme ich darauf?
Gunnar(schlaumeier)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gunnar!
Du musst ja berücksichtigen, dass die Gleichung [mm] $z^2 [/mm] \ = \ z$ auch zwei Lösungen für $z_$ liefert: [mm] $z_1 [/mm] \ = \ 0$ sowie [mm] $z_2 [/mm] \ = \ 1$ .
Damit gibt es auch schon mal (mindestens) zwei Lösungen für $x_$ :
[mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \arccos\left[\bruch{z_{1/2}-2}{2}\right]$
[/mm]
Außerdem musst Du ja berükcsichtigen, dass die [mm] $\cos$-Funktion [/mm] periodisch ist und damit auch unendlich viele Lösungen liefert.
Gruß
Loddar
PS: Danke für die Glückwünsche ... aber das ist auch schon eine Weile her, wo ich den Titel errungen habe ...
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