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Hallo zusammen,
vielleicht kann mir jemand bei folgendem Problem weiterhelfen, das mein Cousin (10. Klasse) als Schulaufgabe bekommen hat.
Einige im Bekanntenkreis haben sich schon mit diesem Problem auseinandergesetzt, doch keiner wusste so richtig einen entsprechenden Ansatz!
Die Aufgabe:
Vier Punkte A, B, C, D einer geraden waagrechten Strasse haben die Entfernungen AB=180m, BC=120m, CD=150m.
Bestimme die Koordinaten des Punktes P (P=Schnittpunkt der sich überlappenden 3 "Seh"-Kreise in einem Koordinatensystem), von dem aus die drei Entfernungen (AB, BC, CD) gleich groß (also unter gleich großem Sehwinkel) erscheinen ("real" sind sie ja unterschiedlich, wie an den Angaben zu sehen)!
Wie groß ist der betreffende Sehwinkel?
TIPPS: Umfangswinkel, Mittelpunktswinkel
Hat jemand einen möglichen Ansatz zur Lösung der Aufgabe?
Viele Grüße,
blue skies
P.S: Auf der zugehörigen Skizze sind in einem ganz normalen Koordinatensystem drei unterschiedlich große, sich überlappende Kreise eingezeichnet, deren Schnittpunkt der Punkt P ist...auf der x-Achse sind des weiteren die Strecken AB, BC und CD abgetragen. Alle 4 Punkte (A,B,C,D) liegen auf der x-Achse, so dass die Punkte ABP, BCP und CDP jeweils innerhalb der "Sehkreise" unterschiedliche Dreiecke bilden.
Die Koordinaten des Punktes P müssen mMg nach zuerst bestimmt werden, danach kann man mittels Kosinussatz in den jeweiligen Dreiecken den Sehwinkel bestimmen (da man anhand der Koordinaten bzw. mittels Pythagoras die den Sehwinkel einschliessenden Katheden ja bestimmen kann, deshalb ist die einzige Unbekannte der Sehwinkel alpha)...
Wer kann mir weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
P.S:
So, habe jetzt mal eine provisorische Skizze angehangen! Leider habe ich keinen Scanner...hoffe aber, man kann es trotzdem erkennen!
Punkt A (0/0), Punkt B (180/0), Punkt C (300/0), Punkt D (450/0). Der Sehwinkel alpha soll in allen 3 Dreiecken gleich sein...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Sa 03.06.2006 | | Autor: | blueskies |
Keiner eine Idee? Ist wirklich wichtig... 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Sa 03.06.2006 | | Autor: | mmhkt |
| Aufgabe | Die Aufgabe:
Vier Punkte A, B, C, D einer geraden waagrechten Strasse haben die Entfernungen AB=180m, BC=120m, CD=150m.
Bestimme die Koordinaten des Punktes P (P=Schnittpunkt der sich überlappenden 3 "Seh"-Kreise in einem Koordinatensystem), von dem aus die drei Entfernungen (AB, BC, CD) gleich groß (also unter gleich großem Sehwinkel) erscheinen ("real" sind sie ja unterschiedlich, wie an den Angaben zu sehen)!
Wie groß ist der betreffende Sehwinkel?
TIPPS: Umfangswinkel, Mittelpunktswinkel
Hat jemand einen möglichen Ansatz zur Lösung der Aufgabe?
Viele Grüße,
blue skies
P.S: Auf der zugehörigen Skizze sind in einem ganz normalen Koordinatensystem drei unterschiedlich große, sich überlappende Kreise eingezeichnet, deren Schnittpunkt der Punkt P ist...auf der x-Achse sind des weiteren die Strecken AB, BC und CD abgetragen. Alle 4 Punkte (A,B,C,D) liegen auf der x-Achse, so dass die Punkte ABP, BCP und CDP jeweils innerhalb der "Sehkreise" unterschiedliche Dreiecke bilden. |
Guten Abend,
wäre es möglich die entsprechende Skizze hier zu zeigen?
Es soll ja Menschen geben, die mehr die "visuellen Lerntypen" sind, vielleicht hilft das dem ein oder anderen weiter.
Ansonsten: Etwas Geduld, es ist Pfingstwochenende...
Schöne Feiertage
mmhkt
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Hallo,
eine Skizze ist jetzt vorhanden.
Wünsche ebenfalls ein schönes Pfingstwochenende!
Viele Grüße,
blue skies
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Verwendeter Satz: Winkelsumme im ebenen Dreieck ist immer 180°
Definitionen der Winkel:
$AP , AB = [mm] \gamma_3$
[/mm]
$BP , BC = [mm] \gamma_2$
[/mm]
$CP , CD = [mm] \gamma_1
[/mm]
$BP , BA = [mm] \beta_3
[/mm]
$CP , CB = [mm] \beta_2
[/mm]
$DP , DC = [mm] \beta_1
[/mm]
jetzt kannst du mal foglende Aussagen aufstellen:
Die drei einzelnen Dreiecke:
$180° = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma_1 [/mm] + [mm] \beta_1$
[/mm]
$180° = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma_2 [/mm] + [mm] \beta_2$
[/mm]
$180° = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma_3 [/mm] + [mm] \beta_3$
[/mm]
Zwei Dreiecke kombiniert:
BDP: $180° = [mm] 2*\alpha [/mm] + [mm] \gamma_2 [/mm] + [mm] \beta_1$
[/mm]
ACP: $180° = [mm] 2*\alpha [/mm] + [mm] \gamma_3 [/mm] + [mm] \beta_2$
[/mm]
Das große Dreieck:
ADP: $180° = [mm] 3*\alpha [/mm] + [mm] \gamma_3 [/mm] + [mm] \beta_1$
[/mm]
Weiter gibt es die Möglichkeit über den Sinussatz folgendes auszusagen:
[mm] $2r_1 [/mm] = [mm] \bruch{AB}{\sin(\alpha)} [/mm] = [mm] \bruch{AP}{\sin(\beta_3)} [/mm] = [mm] \bruch{BP}{\sin(\gamma_3)}$ [/mm]
[mm] $2r_2 [/mm] = [mm] \bruch{BC}{\sin(\alpha)} [/mm] = [mm] \bruch{BP}{\sin(\beta_2)} [/mm] = [mm] \bruch{CP}{\sin(\gamma_2)}$ [/mm]
[mm] $2r_3 [/mm] = [mm] \bruch{CD}{\sin(\alpha)} [/mm] = [mm] \bruch{CP}{\sin(\beta_1)} [/mm] = [mm] \bruch{DP}{\sin(\gamma_1)}$ [/mm]
Vielleicht hilft dir das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 So 04.06.2006 | | Autor: | riwe |
mit [mm] \gamma [/mm] = w(ASD) - S spitze des gesuchten dreiecks - und a = AB, b = BC und c = CD erhalte ich
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{4ac}} [/mm]
und damit [mm] \gamma [/mm] = 30°
die konstruktion mit faßkreisen ist ja klar, vermute ich.
ich bin heute schon zu müde, aber wenn dich das WIE interessiert, gib mir bescheid
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Hallo,
danke erstmal für eure Antworten! Leider kommt man so auch nicht weiter...das habe ich schon alles probiert: beim Sinus-Satz hat man zu viele Unbekannte in der Gleichung und beim Kosinussatz (umgestellt nach dem Winkel) habe ich zwar die dem Winkel (3x alpha) gegenüber liegende Seite, nicht aber die beiden den Winkel einschliessenden Katheten!
Die bekomme ich nur, wenn ich die Koordinaten des Punktes P herausfinde!
Hat jemand noch eine andere Idee?
Gruß,
blue skies
P.S:
@riwe: Wie meinst du das mit der Konstruktion der Faßkreise? Kann man so die Koordinaten des Punktes P herausfinden?
Als Tipps waren ja zu der Aufgabe Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel angegeben...nur leider komme ich trotzdem nicht auf den Lösungsansatz!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 So 04.06.2006 | | Autor: | mmhkt |
Guten Tag zusammen,
sieh dir mal ![[]](/images/popup.gif) diese Seite an - dort gibt es anschauliche Informationen.
Ist denn wirklich eine rechnerische Bestimmung des Punktes P verlangt?
Hat man denn in der 10. Klasse schon die entsprechenden Voraussetzungen um das zu können?
Maßstabsgerecht gezeichnet ließe sich das doch wohl auch zeichnerisch ermitteln, glaube ich wenigstens.
Ausprobiert habe ich es noch nicht.
Trotz alledem - einen schönen Sonntag!
mmhkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 So 04.06.2006 | | Autor: | blueskies |
Hallo mmhkt,
es muss irgendwie auch rechnerisch möglich sein, die Koordinaten des Punktes P zu ermitteln...
Ich finde die Aufgabe auch ziemlich heftig für die 10. Klasse, zumal der Lehrer die Schüler methodisch und didaktisch nicht an diese Aufgabe herangeführt hat!
Er möchte auf jeden Fall eine rechnerische Lösung...
Vielleicht funktioniert das ja mit einem LGS irgendwie. Bzw. mehrere Gleichungen in Abhängigkeit von anderen darstellen...Keine Ahnung! :-(
Gruß,
blue skies
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 So 04.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo bluesky
Wenn deine 10. Klässler den Apolloniuskreis kennen ist das Problem relativ einfach, wenn nicht wird es schwierig.
Man konstruiert den Appoloniuskreis unter dem man AB und BC unter demselben Winkel sieht, Dann den für BC und DC und schneidet sie. Das geht durch reine Konstruktion, also zeichnerisch oder rechnerisch.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
dieser Kreis wurde eigentlich nicht im Unterricht behandelt! Auch ich höre jetzt zum ersten Mal davon, muss ich gestehen...
Sie haben wie gesagt als Tipps Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel bekommen...und dass sie es RECHNERISCH lösen können/sollen.
Wie wäre die Aufgabe bzw. die Bestimmung der Koordinaten des Punktes P denn mit dieser A-Kreis-Methode rechnerisch zu lösen?
Ich habe nach wie vor ja noch nicht mal eine Idee, wie der Ansatz lauten könnte! Bei allem, ws ich bisher ausprobiert habe, hatte ich zu viele Unbekannte in den Gleichungen...
Wenn ich die Koordinaten des Punktes P kennen würde, dann kann ich ja mittels Pythagoras die Länge der Strecken AP, BP, CP und DP bestimmen, da die Koordinaten dieser Punkte ja bekannt sind.
Danach kann ich mittels umgestelltem Kosinus-Satz meinen Sehwinkel alpha bestimmen....
Aber wie komme ich rechnerisch an die Koordinaten von P?
Gruß,
blue skies
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 04.06.2006 | | Autor: | riwe |
die eigentliche arbeit ist es, den winkel [mm] \gamma=30° [/mm] zu berechnen, der rest ist einfach.
damit hat man auch die winkel w(CBS) und w(DCS), stellt die geraden durch B(0/0) bzw. C(12/0) auf und schneidet sie.
ergebnis der rechnung
[mm] \gamma [/mm] = 30°
winkel w(CBS) = 70.8934°
S(77.14/222.70).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo riwe,
danke erstmal für die Mühe mit der Zeichnung! Ich verstehe es aber leider immer noch nicht. Wie bist du denn rechnerisch auf die Winkel gekommen? Man kann doch sonst die Geradengleichungen gar nicht aufstellen!? Du meinst also, dass man erst alle Winkel bestimmen muss, dann Geradengleichungen aufstellen und den Schnittpunkt zwischen den beiden Geraden bestimmen?
Ich habe aber doch keine einzige Winkelangabe!? Meiner Meinung nach sind es immer noch zu viele Unbekannte, oder nicht!?
Gruß,
blue skies
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 04.06.2006 | | Autor: | riwe |
ja, genauso geht es: zuerst den sehwinkel berechnen, die formel dazu habe ich dir ja schon geschrieben, das läßt sich mit den trigonometrischen summensätzen aus den 3 dreiecken machen
zur erinnerung die formel
[mm] cos\gamma=\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{4ac}}=30° [/mm] , dann kannst du daraus den winkel w(CBS) berechnen, nun die beiden geraden .....
ich hänge den ganzen käse als zip-datei mal an, wenn du noch fragen dazu hast, gerne
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: zip) [nicht öffentlich]
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Hallo riwe,
erstmal herzlichen Dank für deine aufgezeigte Lösung!!! Ich hab´s gerade nochmal versucht nachzuvollziehen und mir ist das Prinzip jetzt dank deinen Ausführungen klar!
Allerdings hätte ich noch ein paar kleine Fragen beim Umstellen der Gleichungen, vielleicht kannst du mir dabei auch noch kurz helfen!?
Also: Das Aufstellen der Sinussätze und die Aufstellung der Geradengleichungen sowie den Schnittpunkt ausrechnen ist soweit verstanden, aber wie genau kommst du auf [mm] tan\alpha= [/mm] und [mm] cos\beta= [/mm] ? Du schreibst etwas von trigonometrischen Summensätzen!?
Ich habe mehrmals versucht, auf die Lösung zu kommen, aber leider ist das bei mir schon etwas her mit Mathematik im Studium...
Noch etwas: Ist der sin(180°-alpha-2gamma) das Gleiche wie sin(alpha+2gamma)?
Viele Grüße,
blue skies
P.S: Ich danke allen nochmal für die prima Hilfe!!! 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mo 05.06.2006 | | Autor: | riwe |
hallo skies,
ich schicke dir das ganze als dateianhang, und hoffe, du kommst soweit klar damit, ist alles nur anwendung der trigonometrischen summensätze, und daher - wenn man die kennt und die idee zum lösungsweg hat - ganz einfach und kurz und bündig, ich war da selber ganz überrascht.
wenn du anschließend noch fragen hast, dann nur zu.
ja das ist richtig, sin(180 - x) = sin(x).
(und bei mir ist es vermutlich noch viel, viel länger her)
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi Riwe,
habe jetzt die Summensätze nochmal nachgelesen...der erste Teil deines handgeschriebenen Anhangs ist mir klar!
Allerdings hört es bei mir leider an dem Punkt auf, als du A=B gesetzt hast! Hast du dann den linken Teil der Gleichung mit "cos gamma" erweitert!? Und wie hast du das dann weiter umgeformt, so dass du auf die letzte Formel mit dem Wurzelausdruck kommst?
Danke nochmal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 06.06.2006 | | Autor: | riwe |
hallo skies,
na denn
[mm] \frac{a+b}{a-b}\frac{sin\gamma}{cos\gamma}=\frac{c\cdot sin2\gamma}{b-c\cdot cos2\gamma}
[/mm]
mit [mm] sin2\gamma=2sin\gamma cos\gamma [/mm] und [mm] cos2\gamma=cos^{2}\gamma-sin^{2}\gamma=2cos^{2}\gamma-1 [/mm] erhält man durch ausmultiplizieren:
[mm]ab + b^{2}-2ac\cdot cos^{2}\gamma-2bc\cdot cos^{2}\gamma+ac+bc=2ac\cdot cos^{2}\gamma-2bc\cdot cos^{2}\gamma[/mm]
und daraus mit [mm]ab + b^{2}+ac+bc = (a+b)(b+c) [/mm](probe: einfach klammern auflösen) die gewünschte formel
[mm] cos\gamma=\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{4ac}}
[/mm]
zur geometrischen konstruktion schau dir den tollen beitrag von LEDUART an! da habe ich (leider)ziemlich lange gebraucht, bis ich den durchblick hatte, bis der groschen bei mir gefallen ist,
seufz!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Apolloniuskreise besser googeln. Ich schick ne Zeichnung zur Konstruktion, die man dann leicht zur Rechnung umbauen kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Konstruktion zeigt den einen Thaleskreis, unter dem man a und b unter gleichen Winkeln sieht. entsprechen einen zweiten, unter dem man b und c unter demselben Winkel sieht, der Schnittpunkt ist leicht zu berechnen, da die Mittelpkt auf der x- Achse liegen.
Lage von P1 relativ zum Mittelpunkt von a ( H ) leicht aus dem Strahlensatz, damit auch der Radius r=P1B, die Rechnung für den zweiten muss man nur Buchstaben vertauschen!
Ich hoff es ist halbwegs verständlich auch auf 10. Klasse Niveau, etwa ausführlicher sollte man das dafür noch ausgestalten.
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mo 05.06.2006 | | Autor: | riwe |
hallo leduart,
ich darf starke zweifel an der richtigkeit deiner konstruktion anmelden.
a) sehe ich keinen geometrischen grund, warum sich die höhen wie die seiten verhalten sollten....
b) der letzte teil mit dem thaleskreis bringt ja nichts, der geht immer durch B´. du legst also schon die ganze konstruktion durch 3 punkte fest. es wäre also völlig egal, wo der 4. punkt liegt - er kommt ja in deiner ganzen konstruktion nicht vor - und das kann doch wohl nicht sein.
c) liefert sie nicht den richtigen sehwinkel [mm] \gamma=30° [/mm] (wie von mir berechnet, der sicher richtig ist), und der sehwinkel zur 3. strecke <> dem zu strecke 1 und 2.
kannst du deine konstruktion nicht entsprechend modifizieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 05.06.2006 | | Autor: | riwe |
ich möchte meine einwände noch etwas "sauberer" formulieren:
zu a)
ich meine damit im zusammenhang mit dem gegenwärtigen problem, das liefert JEDEN winkel, wenn ich ha variiere (und läßt sich einfacher konstruieren).
zu c)
liefert nicht NOTWENDIG den richtigen winkel (außer man wählt ha als höhe des gleichseitigen dreiecks über a)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mo 05.06.2006 | | Autor: | riwe |
hallo leduart,
ich nehme alles zurück!
jetzt habe ich es ENDLICH kapiert!
knirsch
werner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 So 04.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Vorbemerkungen:
- Ob dieser Weg tatsächlich zu dem richtigen Ergebnis führt, habe ich nicht überprüft.
- Es sollte einfacher gehen.
Festlegungen:
Koordiantensystem x=0 bei A, x=180 bei B und so weiter
Länge der Strecke AB nenne ich [mm] a_1, [/mm] BC [mm] a_2, [/mm] CD [mm] a_3 [/mm] (damit die Zahlen nicht stören)
Nun wird über AB, BC und CD jeweils ein gleichschenkliges Dreieck errichtet. Die Höhen auf der x-Achse heißen [mm] h_1, h_2, h_3. [/mm] Die gleichlangen Seiten heißen [mm] r_1, r_2, r_3.
[/mm]
Der gesuchte Punkt P hat die Koordinaten x,y.
Die Ecken der drei Deiecke oberhalb der x-Achse werden jeweils zum Mittelpunkt eines Kreises. Darum die Benennungen [mm] r_1, r_2, r_3 [/mm] als Radien. Die Winkel in diesen Ecken sind die Mittelpunktswinkel.
Als erstes sollen die Mittelpunktswinkel gleich groß werden. Dazu wird [mm] h_1 [/mm] festgelegt und muß später bestimmt. Für [mm] h_2 [/mm] und [mm] h_3 [/mm] gilt nun [mm]h_2 = \frac{a_2}{a_1} h_1 [/mm] und [mm]h_3 = \frac{a_3}{a_1} h_1 [/mm]. So sind ähnliche Dreiecke entstanden und es gilt
[mm]r_2 = \frac{a_2}{a_1} r_1 [/mm] und [mm]r_3 = \frac{a_3}{a_1} r_1 [/mm].
Weiterhin gilt auch [mm]r_1^2 = \frac{a_1^2}{4} + h_1^2[/mm].
Nun haben alle Umfangswinkel auf den drei Kreisen die selben Werte. Von den Schnittpunkten der Kreise aus sieht man die jeweiligen Strecken unter dem gleichen Winkel. [mm] h_1 [/mm] ist so zu wählen, dass alle drei Kreise einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, nämlich den gesuchten Punkt P.
Das führt zu drei Gleichungen die sich aus der Berechnung des Abstandes zwischen P und den Ecken der Dreiecke ergeben:
[mm](x-\frac{a_1}{2})^2+(y-h_1)^2=r_1^2=\frac{a_1^2}{4}+h_1^2[/mm]
[mm](x-\frac{a_2}{2}-a_1)^2+(y-h_1\frac{a_2}{a_1})^2=r_2^2=\frac{a_2^2}{4}+(\frac{a_2}{a_1})^2h_1^2[/mm]
[mm](x-\frac{a_3}{2}-a_2-a_1)^2+(y-h_1\frac{a_3}{a_1})^2=r_3^2=\frac{a_3^2}{4}+(\frac{a_3}{a_1})^2h_1^2[/mm]
Ausqadrieren und sortieren läßt alle Terme ganz rechts verschwinden.
Die erste Gleichung nach [mm] x^2 [/mm] auflösen und in die zweite und dritte einsetzen läßt [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] verschwinden. Es bleibt ein lineares Gleichungssystem mit x als der einen und [mm] c=yh_1 [/mm] als der anderen Variablen. Dies lösen. Die Werte für x und c in eine der Gleihungen einsetzen, dann erhält man auch über das übrigbleibende [mm] y^2 [/mm] den Wert von y und damit wieder den Wert von [mm] h_1. [/mm]
Der Winkel ergibt sich aus den rechtwinkligen Dreiecken mit den Höhen als einer Seite.
Zum Schluss empfehle ich dringend eine Probe!
Dann würde ich gerne die einfacheren Lösungen auch sehen.
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