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Trigonometr. Formeln, Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mi 13.12.2006
Autor: Kampfhase

Aufgabe
Zeigen Sie: [mm] cos^{4} [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] cos 4x + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cos 2x + [mm] \bruch{3}{8} [/mm]

Ich soll diese Aufgabe lösen. Bloss komm da irgendwie nicht ganz weiter ...

Also ich verwende die Formel von Moivre: (cos x + i*sin [mm] x)^{4} [/mm] = cos 4x + i*sin 4x;

Danach habe ich die Binomische Formel genommen und das ebenfalls aufgelöst: (cos x + i*sin [mm] x)^{4} [/mm] = ... = ( [mm] cos^{4} [/mm] x - [mm] 6*cos^{2} [/mm] x [mm] sin^{2} [/mm] x + [mm] sin^{4} [/mm] x )+ i* (4cos³ x sin x - sin³ x 4 cos x) ! Also aufgelöst und nach realteil und Imaginärteil geordnet !

Nun vergleiche ich die beiden Realteile: cos (4x) = [mm] cos^{4} [/mm] x - [mm] 6*cos^{2} [/mm] x [mm] sin^{2} [/mm] x + [mm] sin^{4} [/mm] x ! Da ersetz ich dann das sin²x noch mit (1-cos²x). Und dann müsste doch da jetzt mein gewünschtes Ergebnis rauskommen , oder ?
Leider klappt das irgendwie nicht ! Bin ich hierbei total auf dem falschen weg, bzw. hab nurn Rechenfehler drin ? Oder was mach ich falsch ? Bitte um irgendwelche Hilfe und Unterstützung ;-) !

Vielen Dank und Grüße :-) !


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Trigonometr. Formeln, Potenzen: Auf dem richtigen Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Mi 13.12.2006
Autor: moudi


> Zeigen Sie: [mm]cos^{4}[/mm] (x) = [mm]\bruch{1}{8}[/mm] cos 4x +
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cos 2x + [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
>  Ich soll diese Aufgabe lösen. Bloss komm da irgendwie
> nicht ganz weiter ...
>  
> Also ich verwende die Formel von Moivre: (cos x + i*sin
> [mm]x)^{4}[/mm] = cos 4x + i*sin 4x;
>  
> Danach habe ich die Binomische Formel genommen und das
> ebenfalls aufgelöst: (cos x + i*sin [mm]x)^{4}[/mm] = ... = (
> [mm]cos^{4}[/mm] x - [mm]6*cos^{2}[/mm] x [mm]sin^{2}[/mm] x + [mm]sin^{4}[/mm] x )+ i* (4cos³
> x sin x - sin³ x 4 cos x) ! Also aufgelöst und nach
> realteil und Imaginärteil geordnet !
>  
> Nun vergleiche ich die beiden Realteile: cos (4x) = [mm]cos^{4}[/mm]
> x - [mm]6*cos^{2}[/mm] x [mm]sin^{2}[/mm] x + [mm]sin^{4}[/mm] x ! Da ersetz ich dann
> das sin²x noch mit (1-cos²x). Und dann müsste doch da jetzt
> mein gewünschtes Ergebnis rauskommen , oder ?
>  Leider klappt das irgendwie nicht ! Bin ich hierbei total
> auf dem falschen weg, bzw. hab nurn Rechenfehler drin ?
> Oder was mach ich falsch ? Bitte um irgendwelche Hilfe und
> Unterstützung ;-) !

Hallo Kampfhase

Du bist auf dem richtigen Weg aber noch nicht fertig!

Ich erhalte dann [mm] $\cos(4x)=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1$ [/mm]
Analog erhält man [mm] $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ [/mm]

Und jetzt kann mam einfach überprüfen, dass [mm] $\cos^4(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{8}\cos(4x) +\frac{1}{2} \cos(2x) [/mm] + [mm] \frac{3}{8}$ [/mm]

mfG Moudi
>
> Vielen Dank und Grüße :-) !
>  


Bezug
                
Bezug
Trigonometr. Formeln, Potenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 Mi 13.12.2006
Autor: Kampfhase

Ah ja, gut ! Jetzt versteh ichs auch !

Danke nochmal !
Bezug
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