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Hallo Zusammen,
Vielleicht hat ja jemand eine Idee. Gegeben ist ein Graph [mm]G=(V,E)\![/mm], welcher eine Triangulation einer Punktmenge in der Ebene darstellt. Eine Triangulation ist eine maximale, sich nicht kreuzende Menge von Liniensegmenten mit Endpunkten in [mm]V\![/mm]. Z.B. wäre für die Punktmenge
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die Triangulation
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Die Frage ist, ob [mm]G\![/mm] bezüglich der Dreiecke 3-flächen-färbbar ist, d.h. ob höchstens drei verschiedene Farben ausreichen, um jedes Dreieck von [mm]G\![/mm] so zu färben, daß Dreiecke mit gleicher Kante (benachbarte Dreiecke), verschieden gefärbt sind.
Bisher habe ich weder ein Gegenbeispiel noch einen Beweis dazu gefunden. Es scheint immer so zu sein, daß man Dreiecke abwechselnd mit 2 Farben füllen kann, und immer dann, wenn es zu einer Überschneidung kommt, wählt man einfach die 3te Farbe, so wie oben:
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Die Frage ist nur: Ist das immer so?
Stöbert man eine Weile im Netz, findet man z.B. das Theorem von Grötzsch, wonach alle Dreieck-freien planaren Graphen 3-färbbar sind. Weist man nun jedem Dreieck einen Knoten zu und verbindet diese, wenn die zugehörigen Dreiecke benachbart sind, so erhält man meist Dreieck-freie Graphen. Leider gibt es da eine Ausnahme:
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Wie man sieht, ist der "Graph mit den bunten Ecken" hier ein Dreieck. Und deshalb kann man daraus Triangulationen entwickeln, deren zugehörige "bunte Graphen" Dreiecke enthalten:
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Nichtsdestotrotz sieht man am obigen Beispiel, daß es immer noch möglich ist hier eine Flächenfärbung zu finden.
Ich hoffe jemand hier weiß etwas darüber. Im Netz habe ich noch das Theorem von Brooks gefunden. Nur leider sind da Kreise ungerader Länge im Graphen nicht erlaubt.
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 26.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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