Treppenfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:31 Di 17.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] $f:[-1,1]\rightarrow \IR, x\rightarrow [/mm] f(x)$ sei definiert durch
[mm] $f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n+2} & \mbox{für } \bruch{1}{n+1}
Zeigen Sie, dass eine Folge von Treppenfunktionen existiert, die gleichmäßig gegen f konvergiert und berechnen Sie
[mm] $\integral^{1}_{-1}{f(x)dx}. [/mm] |
Ich weiß bei dieser Aufgabe einfach nicht wie anfangen und würde mich sehr über Hilfe freuen.
Vielen Dank
LG
Dudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Di 17.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) ist 1/(x+2) für x>0 und 1/(n+2) für x<0 richtig?
b) warum zeichnest du dir die fkt nicht auf und eine Treppenfkt dazu?
irgendwas musst du doch überlegt haben? Wie sieht denn die fkt für x<0 aus?
Gruss leduart
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> Hallo
> a) ist 1/(x+2) für x>0 und 1/(n+2) für x<0 richtig?
Sorry, das sollte beides 1/(n+2) heißen! :)
> b) warum zeichnest du dir die fkt nicht auf und eine
> Treppenfkt dazu?
> irgendwas musst du doch überlegt haben? Wie sieht denn
> die fkt für x<0 aus?
Ich habe mir die Funktion schon aufgezeichnet, also ich habe mir halt mehrere Werte berechnet:
z.B.
[mm] $f(\bruch{1}{2})=\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $f(\bruch{1}{3})=\bruch{1}{5}$
[/mm]
[mm] $f(\bruch{1}{4})=\bruch{1}{6}$
[/mm]
[mm] $f(\bruch{1}{5})=\bruch{1}{7}$
[/mm]
[mm] $f(1)=\bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $f(-1)=\bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $f(-\bruch{1}{2})=\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $f(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{5}$
[/mm]
[mm] $f(-\bruch{1}{4})=\bruch{1}{6}$
[/mm]
[mm] $f(-\bruch{1}{5})=\bruch{1}{7}$
[/mm]
etc.
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 17.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst sie schon zeichnen, also n ganzen Intervallen (1/(n+1),1/n) Was für ne funktionsart ist das denn?
Berechne erst mal von -1 bis -1/5 ichhofe dann siehst du selbst wie es weitergeht.
Grzss leduart
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Okay, ich habe Die Funktion für die Intervalle bis n=5 mal gezeichnet und erkenne die Treppenfunktion.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich jetzt zeige, dass diese existiert!
Vielen Dank für die Geduld :)
LG
Dudi
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Also man muss ja das intervall [-1,1] in endlich viele Teilintervalle aufteilen können.
Aber sind es hier nicht unendlich viele teilintervalle die sich hier erstellen lassen?
Für jedes [mm] $n\in \IN$, [/mm] oder?
LG
Dudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Di 17.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst sind es endlich viele, die musst du bis n definieren und dann in einem Schritt gegen 0 gehen.
der GW der summe über die Treppenflächen ist dann dein Integral.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo DudiPupan,
> Also man muss ja das intervall [-1,1] in endlich viele
> Teilintervalle aufteilen können.
nein. Du sollst eine FOLGE von Treppenfunktionen angeben, die glm. gegen [mm] $f\,$ [/mm] strebt. Jede Treppenfunktion ist zwar auf endlich vielen Teilintervallen jeweils konstant, aber mit wachsendem Index dürfen auch die Anzahl der entsprechenden Intervalle, auf denen die Folgenglieder (also die einzelnen Funktionen), definiert sind, zunehmen.
> Aber sind es hier nicht unendlich viele teilintervalle die
> sich hier erstellen lassen?
Wie gesagt: Wenn Du die Treppenfunktionen [mm] $f_n$ [/mm] nennst, so muss natürlich jedes [mm] $f_n$ [/mm] nur auf endlich vielen Teilintervallen jeweils konstant definiert sein, aber die erste kann auf 3, die zweite auf 7, die 3e auf 1000, die 4e auf 10000453453 etc. Teilintervallen definiert sein.
> Für jedes [mm]n\in \IN[/mm], oder?
Es ist aber nicht gefordert, eine feste Anzahl von Teilintervallen für jedes [mm] $n\,,$ [/mm] sondern für jedes [mm] $n\,$ [/mm] eine Anzahl von Teilintervallen etwa anzugeben.
Beachte die Logik: Die Aussage "Es gibt eine Anzahl [mm] $A\,$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$" [/mm] heißt, dass das [mm] $A\,$ [/mm] nicht mit [mm] $n\,$ [/mm] variiert werden darf - es muss unabhängig von [mm] $n\,$ [/mm] sein. Bei Dir geht's aber darum: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert eine (von [mm] $n\,$ [/mm] abhängige) Anzahl [mm] $A=A(n)\,,$ [/mm] so dass ...
Auch symbolisch kommt das zum tragen:
[mm] "$\forall [/mm] x$ [mm] $\exists$ $\epsilon> [/mm] 0$"
ist eine andere Aussage wie
[mm] "$\exists \epsilon [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] x$"
Bei der ersten Aussage ist i.a. [mm] $\epsilon=\epsilon(x)$ [/mm] von [mm] $x\,$ [/mm] abhängig, bei der zweiten ist das [mm] $\epsilon$ [/mm] quasi "universell bzgl. $x$".
Tipp:
Betrachte (für $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$) die Funktionen [mm] $g_\epsilon:[-1,1] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $g_\epsilon(x):=1\,,$ [/mm] falls $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ mit $|x| > [mm] \epsilon\,,$ [/mm] und [mm] $g_\epsilon(x)=0$ [/mm] sonst. Für $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ kannst du [mm] $f*g_\epsilon$ [/mm] betrachten.
Gruß,
Marcel
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> Also man muss ja das intervall [-1,1] in endlich viele
> Teilintervalle aufteilen können.
> Aber sind es hier nicht unendlich viele teilintervalle die
> sich hier erstellen lassen?
> Für jedes [mm]n\in \IN[/mm], oder?
D.h. wir hätten die Intervalle:
[mm] $X_1=]\bruch{1}{2},1],X_2=]\bruch{1}{3},\bruch{1}{2}],...,X_n=]\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}]$
[/mm]
und
[mm] $X'_1=]-1,-\bruch{1}{2}],X'_2=]-\bruch{1}{2},-\bruch{1}{3}],...,X'_n=]-\bruch{1}{n},-\bruch{1}{n+1}]$
[/mm]
Oder kann ich die Intervalle für x<0 und x>0 iwie zusammenfassen?
Und wie meintest du nun gegen 0 gehen?
LG
Dudi
>
> LG
> Dudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Also man muss ja das intervall [-1,1] in endlich viele
> > Teilintervalle aufteilen können.
> > Aber sind es hier nicht unendlich viele teilintervalle
> die
> > sich hier erstellen lassen?
> > Für jedes [mm]n\in \IN[/mm], oder?
> D.h. wir hätten die Intervalle:
>
> [mm]X_1=]\bruch{1}{2},1],X_2=]\bruch{1}{3},\bruch{1}{2}],...,X_n=]\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}][/mm]
> und
>
> [mm]X'_1=]-1,-\bruch{1}{2}],X'_2=]-\bruch{1}{2},-\bruch{1}{3}],...,X'_n=]-\bruch{1}{n},-\bruch{1}{n+1}][/mm]
>
> Oder kann ich die Intervalle für x<0 und x>0 iwie
> zusammenfassen?
>
> Und wie meintest du nun gegen 0 gehen?
in meinem Post siehst Du [mm] $g_\epsilon\,,$ [/mm] die außerhalb eines (kleinen) [mm] $\epsilon$-Intervalls [/mm] um die [mm] $0\,$ [/mm] den Wert [mm] $1\,$ [/mm] haben, und innerhalb des Intervalls den Wert [mm] $0\,.$
[/mm]
Betrachtet man für $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ nun
[mm] $$f_\epsilon:=f*g_\epsilon\,,$$
[/mm]
so hat man erstmal schon das "Problem", dass man noch keine Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}\,,$ [/mm] sondern eine Familie [mm] $(f_\epsilon)_{0 < \epsilon < 1}$ [/mm] hat, und die Menge [mm] $(0,1)\,$ [/mm] ist ja nicht abzählbar. Aber man kann [mm] "$\epsilon$ [/mm] durch eine Nullfolge" ersetzen und dann testen, ob's das schon tut.
(Grob gesagt: Das "Verkleinern des [mm] $\epsilon$'s" [/mm] bei [mm] $f_\epsilon$ [/mm] "läßt den Bereich, wo [mm] $f_\epsilon$ [/mm] konstant [mm] $0\,$ [/mm] ist, zusammenschrumpfen, und außerhalb davon (und an der Stelle [mm] $0\,$) [/mm] stimmen [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $f_\epsilon$ [/mm] ja überein." Warum sind die [mm] $f_\epsilon$'s [/mm] denn auch Treppenfunktionen? Schau' genau in die Definition von [mm] $f\,.$ [/mm] Die gleichmäßige Konvergenz ist dann noch zu begründen, wenn du in [mm] $(f_\epsilon)_{0 < \epsilon < 1}$ [/mm] das [mm] $\epsilon$ [/mm] durch eine geeignete Nullfolge ersetzt hast.)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > > Also man muss ja das intervall [-1,1] in endlich viele
> > > Teilintervalle aufteilen können.
> > > Aber sind es hier nicht unendlich viele
> teilintervalle
> > die
> > > sich hier erstellen lassen?
> > > Für jedes [mm]n\in \IN[/mm], oder?
> > D.h. wir hätten die Intervalle:
> >
> >
> [mm]X_1=]\bruch{1}{2},1],X_2=]\bruch{1}{3},\bruch{1}{2}],...,X_n=]\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}][/mm]
> > und
> >
> >
> [mm]X'_1=]-1,-\bruch{1}{2}],X'_2=]-\bruch{1}{2},-\bruch{1}{3}],...,X'_n=]-\bruch{1}{n},-\bruch{1}{n+1}][/mm]
> >
> > Oder kann ich die Intervalle für x<0 und x>0 iwie
> > zusammenfassen?
> >
> > Und wie meintest du nun gegen 0 gehen?
>
> in meinem Post siehst Du [mm]g_\epsilon\,,[/mm] die außerhalb eines
> (kleinen) [mm]\epsilon[/mm]-Intervalls um die [mm]0\,[/mm] den Wert [mm]1\,[/mm]
> haben, und innerhalb des Intervalls den Wert [mm]0\,.[/mm]
>
D.h. wir hätten dann folgende Funktion?:
[mm] $f_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\ge \epsilon \end{cases}$
[/mm]
> Betrachtet man für [mm]0 < \epsilon < 1[/mm] nun
> [mm]f_\epsilon:=f*g_\epsilon\,,[/mm]
somit wäre
[mm] $f_\epsilon (x):=\begin{cases} \bruch{1}{3}& \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x| \ge \epsilon \end{cases}$
[/mm]
oder habe ich das falsch aufgefasst?
Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich [mm] $\epsilon$ [/mm] durch eine Nullfolge ersetzen soll!
Danke für die Hilfe
LG
Dudi
> so hat man erstmal schon das "Problem", dass man noch
> keine Folge [mm](f_n)_{n \in \IN}\,,[/mm] sondern eine Familie
> [mm](f_\epsilon)_{0 < \epsilon < 1}[/mm] hat, und die Menge [mm](0,1)\,[/mm]
> ist ja nicht abzählbar. Aber man kann "[mm]\epsilon[/mm] durch eine
> Nullfolge" ersetzen und dann testen, ob's das schon tut.
> (Grob gesagt: Das "Verkleinern des [mm]\epsilon[/mm]'s" bei
> [mm]f_\epsilon[/mm] "läßt den Bereich, wo [mm]f_\epsilon[/mm] konstant [mm]0\,[/mm]
> ist, zusammenschrumpfen, und außerhalb davon (und an der
> Stelle [mm]0\,[/mm]) stimmen [mm]f\,[/mm] und [mm]f_\epsilon[/mm] ja überein." Warum
> sind die [mm]f_\epsilon[/mm]'s denn auch Treppenfunktionen? Schau'
> genau in die Definition von [mm]f\,.[/mm] Die gleichmäßige
> Konvergenz ist dann noch zu begründen, wenn du in
> [mm](f_\epsilon)_{0 < \epsilon < 1}[/mm] das [mm]\epsilon[/mm] durch eine
> geeignete Nullfolge ersetzt hast.)
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Also man muss ja das intervall [-1,1] in endlich viele
> > > > Teilintervalle aufteilen können.
> > > > Aber sind es hier nicht unendlich viele
> > teilintervalle
> > > die
> > > > sich hier erstellen lassen?
> > > > Für jedes [mm]n\in \IN[/mm], oder?
> > > D.h. wir hätten die Intervalle:
> > >
> > >
> >
> [mm]X_1=]\bruch{1}{2},1],X_2=]\bruch{1}{3},\bruch{1}{2}],...,X_n=]\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}][/mm]
> > > und
> > >
> > >
> >
> [mm]X'_1=]-1,-\bruch{1}{2}],X'_2=]-\bruch{1}{2},-\bruch{1}{3}],...,X'_n=]-\bruch{1}{n},-\bruch{1}{n+1}][/mm]
> > >
> > > Oder kann ich die Intervalle für x<0 und x>0 iwie
> > > zusammenfassen?
> > >
> > > Und wie meintest du nun gegen 0 gehen?
> >
> > in meinem Post siehst Du [mm]g_\epsilon\,,[/mm] die außerhalb eines
> > (kleinen) [mm]\epsilon[/mm]-Intervalls um die [mm]0\,[/mm] den Wert [mm]1\,[/mm]
> > haben, und innerhalb des Intervalls den Wert [mm]0\,.[/mm]
> >
>
> D.h. wir hätten dann folgende Funktion?:
>
> [mm]f_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\ge \epsilon \end{cases}[/mm]
Definitiv nicht - alleine schon nicht, weil da einmal $|x| > [mm] \epsilon$ [/mm] und einmal $|x| [mm] \ge \epsilon$ [/mm] steht - das ist keine wohldefinierte Funktion.
Es war doch
$$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n+2} & \mbox{für } \bruch{1}{n+1}
und es ist
[mm] $$g_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}\,.$$
[/mm]
> > Betrachtet man für [mm]0 < \epsilon < 1[/mm] nun
> > [mm]f_\epsilon:=f*g_\epsilon\,,[/mm]
>
> somit wäre
> [mm]f_\epsilon (x):=\begin{cases} \bruch{1}{3}& \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x| \ge \epsilon \end{cases}[/mm]
>
> oder habe ich das falsch aufgefasst?
Das ist doch totaler Quatsch - ich sehe auch absolut nicht, wie Du auf sowas kommst. Nimm' mal an, es wäre [mm] $f(x)=x^2\,.$ [/mm] Dann wäre
[mm] $$(g_{\epsilon}*f)(x)=g_\epsilon(x)*f(x)=\begin{cases} f(x)*1, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0*f(x), & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}\,.$$
[/mm]
Übertrage das nun mal auf Deine Funktion! [mm] ($f_\epsilon$ [/mm] stimmt außerhalb des [mm] $\epsilon$-Intervalls [/mm] um die [mm] $0\,$ [/mm] mit [mm] $f\,$ [/mm] überein, und innerhalb dieses Intervalls hat [mm] $f_\epsilon$ [/mm] den Wert konstant [mm] $0\,.$)
[/mm]
> Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich [mm]\epsilon[/mm] durch eine
> Nullfolge ersetzen soll!
Du kannst doch einfach anstatt [mm] $\epsilon$ [/mm] etwa [mm] $\epsilon_n$ [/mm] betrachten, wobei [mm] $\epsilon_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Danach setzt Du mit obigen [mm] $f_\epsilon$ [/mm] halt [mm] $f_n:=f_{\epsilon_n}\,.$ [/mm] Und Du kannst sicher eine konkrete Nullfolge angeben, wenn Du willst!
> Danke für die Hilfe
Gerne!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > > Also man muss ja das intervall [-1,1] in endlich viele
> > > > > Teilintervalle aufteilen können.
> > > > > Aber sind es hier nicht unendlich viele
> > > teilintervalle
> > > > die
> > > > > sich hier erstellen lassen?
> > > > > Für jedes [mm]n\in \IN[/mm], oder?
> > > > D.h. wir hätten die Intervalle:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]X_1=]\bruch{1}{2},1],X_2=]\bruch{1}{3},\bruch{1}{2}],...,X_n=]\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}][/mm]
> > > > und
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]X'_1=]-1,-\bruch{1}{2}],X'_2=]-\bruch{1}{2},-\bruch{1}{3}],...,X'_n=]-\bruch{1}{n},-\bruch{1}{n+1}][/mm]
> > > >
> > > > Oder kann ich die Intervalle für x<0 und x>0 iwie
> > > > zusammenfassen?
> > > >
> > > > Und wie meintest du nun gegen 0 gehen?
> > >
> > > in meinem Post siehst Du [mm]g_\epsilon\,,[/mm] die außerhalb eines
> > > (kleinen) [mm]\epsilon[/mm]-Intervalls um die [mm]0\,[/mm] den Wert [mm]1\,[/mm]
> > > haben, und innerhalb des Intervalls den Wert [mm]0\,.[/mm]
> > >
> >
> > D.h. wir hätten dann folgende Funktion?:
> >
> > [mm]f_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\ge \epsilon \end{cases}[/mm]
>
Sorry, das war ein schreibfehler.
Hatte mir das hier, wie du unten notiert!
> Definitiv nicht - alleine schon nicht, weil da einmal [mm]|x| > \epsilon[/mm]
> und einmal [mm]|x| \ge \epsilon[/mm] steht - das ist keine
> wohldefinierte Funktion.
>
> Es war doch
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n+2} & \mbox{für } \bruch{1}{n+1}
> und es ist
> [mm]g_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}\,.[/mm]
>
>
> > > Betrachtet man für [mm]0 < \epsilon < 1[/mm] nun
> > > [mm]f_\epsilon:=f*g_\epsilon\,,[/mm]
> >
> > somit wäre
> > [mm]f_\epsilon (x):=\begin{cases} \bruch{1}{3}& \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x| \ge \epsilon \end{cases}[/mm]
>
> >
> > oder habe ich das falsch aufgefasst?
okay, hier habe ich das versehentlich als komposition aufgefasst, also als f(g(x))!
Dann ist
[mm] $f_\epsilon :=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}\,.$
[/mm]
>
> Das ist doch totaler Quatsch - ich sehe auch absolut nicht,
> wie Du auf sowas kommst. Nimm' mal an, es wäre [mm]f(x)=x^2\,.[/mm]
> Dann wäre
> [mm](g_{\epsilon}*f)(x)=g_\epsilon(x)*f(x)=\begin{cases} f(x)*1, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0*f(x), & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}\,.[/mm]
>
>
> Übertrage das nun mal auf Deine Funktion! ([mm]f_\epsilon[/mm]
> stimmt außerhalb des [mm]\epsilon[/mm]-Intervalls um die [mm]0\,[/mm] mit
> [mm]f\,[/mm] überein, und innerhalb dieses Intervalls hat
> [mm]f_\epsilon[/mm] den Wert konstant [mm]0\,.[/mm])
>
> > Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich [mm]\epsilon[/mm] durch eine
> > Nullfolge ersetzen soll!
>
> Du kannst doch einfach anstatt [mm]\epsilon[/mm] etwa [mm]\epsilon_n[/mm]
> betrachten, wobei [mm]\epsilon_n \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty\,.[/mm]
> Danach setzt Du mit obigen [mm]f_\epsilon[/mm] halt
> [mm]f_n:=f_{\epsilon_n}\,.[/mm] Und Du kannst sicher eine konkrete
> Nullfolge angeben, wenn Du willst!
>
Okay, dann wäre ja für $n [mm] \to \infty$ [/mm] werden immer weniger [mm] $f_n$'s [/mm] gleich 0?
> > Danke für die Hilfe
>
> Gerne!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay, hier habe ich das versehentlich als komposition
> aufgefasst, also als f(g(x))!
auch dann verstehe ich nicht,wie Du zu dem kommst, was Du da geschrieben hattest - zumal Du sicher $(f [mm] \circ g_\epsilon)$ [/mm] und nicht $(f [mm] \circ [/mm] g)$ meintest.
> Dann ist
> [mm]f_\epsilon :=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}\,.[/mm]
Genau. Mit Deinem konkreten [mm] $f\,$ [/mm] kannst Du das aber auch noch konkreter hinschreiben!
> > > ...
> > > Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich [mm]\epsilon[/mm] durch eine
> > > Nullfolge ersetzen soll!
> >
> > Du kannst doch einfach anstatt [mm]\epsilon[/mm] etwa [mm]\epsilon_n[/mm]
> > betrachten, wobei [mm]\epsilon_n \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty\,.[/mm]
> > Danach setzt Du mit obigen [mm]f_\epsilon[/mm] halt
> > [mm]f_n:=f_{\epsilon_n}\,.[/mm] Und Du kannst sicher eine konkrete
> > Nullfolge angeben, wenn Du willst!
> >
>
> Okay, dann wäre ja für [mm]n \to \infty[/mm] werden immer weniger
> [mm]f_n[/mm]'s gleich 0?
Achtung: Du meinst was komplett anderes als das, was da steht. Was da steht, ist, dass "es immer weniger [mm] $f_n$'s" [/mm] (was immer hier auch "immer weniger" bedeutet) gibt, die die Nullfunktion sind.
Was Du meinst, ist, dass der Bereich, wo die (auf [-1,1] definierten) [mm] $f_n$'s [/mm] konstant [mm] $0\,$ [/mm] ist, immer mehr schrumpft.
Aber natürlich ist das so. Ich finde das auch gar nicht schlecht: Die [mm] $f_n=f_{\epsilon_n}$ [/mm] sollen doch sogar gleichmäßig gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergieren. Das, was wir hier sehen, läßt uns doch wenigstens schonmal die punktweise Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen [mm] $f\,$ [/mm] erkennen. Die gleichmäßige Konvergenz eigentlich auch schon, aber da die meisten Leute "Probleme mit der Vorstellung des [mm] $\epsilon$-Schlauchs [/mm] um die erhoffte Grenzfunktion" haben (dabei kann man das wirklich auch anhand der Graphen, jedenfalls bei reellwertiger Funktionen einer reellen Variablen, schön "zeigen", was die glm. Konvergenz bedeutet), erwarte ich das nicht unbedingt. Aber Du kannst ja mal versuchen, ob es sich formal beweisen läßt.
P.S.: Eine einfache Erkenntnis, die mich in meinem Studium verwirrte, weil sie mir niemand sagte (oder ich es verpennt hatte, genau zuzuhören), will ich Dir aber noch mitgeben - wie gesagt: Ich habe es mir mal selbst überlegt, weil mir das bei einer Übungsaufgabe nicht klar war:
Falls die Konvergenz [mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig ist, dann konvergiert [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auch punktweise - und zwar GEGEN DAS GLEICHE [mm] $f\,.$ [/mm] D.h. "die gleichmäßige Grenzfunktion ist auch die punktweise Grenzfunktion", während die umgekehrte Aussage i.a. Unsinn ist, da punktweise Kgz. ja nicht die glm. impliziert.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > okay, hier habe ich das versehentlich als komposition
> > aufgefasst, also als f(g(x))!
>
> auch dann verstehe ich nicht,wie Du zu dem kommst, was Du
> da geschrieben hattest - zumal Du sicher [mm](f \circ g_\epsilon)[/mm]
> und nicht [mm](f \circ g)[/mm] meintest.
>
> > Dann ist
> > [mm]f_\epsilon :=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } |x|>\epsilon \\ 0, & \mbox{für } |x|\le \epsilon \end{cases}\,.[/mm]
>
>
> Genau. Mit Deinem konkreten [mm]f\,[/mm] kannst Du das aber auch
> noch konkreter hinschreiben!
>
> > > > ...
> > > > Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich [mm]\epsilon[/mm] durch
> eine
> > > > Nullfolge ersetzen soll!
> > >
> > > Du kannst doch einfach anstatt [mm]\epsilon[/mm] etwa [mm]\epsilon_n[/mm]
> > > betrachten, wobei [mm]\epsilon_n \to 0[/mm] bei [mm]n \to \infty\,.[/mm]
> > > Danach setzt Du mit obigen [mm]f_\epsilon[/mm] halt
> > > [mm]f_n:=f_{\epsilon_n}\,.[/mm] Und Du kannst sicher eine konkrete
> > > Nullfolge angeben, wenn Du willst!
> > >
> >
> > Okay, dann wäre ja für [mm]n \to \infty[/mm] werden immer weniger
> > [mm]f_n[/mm]'s gleich 0?
>
> Achtung: Du meinst was komplett anderes als das, was da
> steht. Was da steht, ist, dass "es immer weniger [mm]f_n[/mm]'s"
> (was immer hier auch "immer weniger" bedeutet) gibt, die
> die Nullfunktion sind.
>
> Was Du meinst, ist, dass der Bereich, wo die (auf [-1,1]
> definierten) [mm]f_n[/mm]'s konstant [mm]0\,[/mm] ist, immer mehr schrumpft.
>
> Aber natürlich ist das so. Ich finde das auch gar nicht
> schlecht: Die [mm]f_n=f_{\epsilon_n}[/mm] sollen doch sogar
> gleichmäßig gegen [mm]f\,[/mm] konvergieren. Das, was wir hier
> sehen, läßt uns doch wenigstens schonmal die punktweise
> Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f\,[/mm] erkennen. Die gleichmäßige
> Konvergenz eigentlich auch schon, aber da die meisten Leute
> "Probleme mit der Vorstellung des [mm]\epsilon[/mm]-Schlauchs um die
> erhoffte Grenzfunktion" haben (dabei kann man das wirklich
> auch anhand der Graphen, jedenfalls bei reellwertiger
> Funktionen einer reellen Variablen, schön "zeigen", was
> die glm. Konvergenz bedeutet), erwarte ich das nicht
> unbedingt. Aber Du kannst ja mal versuchen, ob es sich
> formal beweisen läßt.
Okay, jetzt macht das alles wirklich schon viel mehr sinn und ich verstehe jetzt auch, was wir da eigentlich gemacht haben ;)
>
> P.S.: Eine einfache Erkenntnis, die mich in meinem Studium
> verwirrte, weil sie mir niemand sagte (oder ich es verpennt
> hatte, genau zuzuhören), will ich Dir aber noch mitgeben -
> wie gesagt: Ich habe es mir mal selbst überlegt, weil mir
> das bei einer Übungsaufgabe nicht klar war:
> Falls die Konvergenz [mm]f_n \to f[/mm] gleichmäßig ist, dann
> konvergiert [mm](f_n)_n[/mm] auch punktweise - und zwar GEGEN DAS
> GLEICHE [mm]f\,.[/mm] D.h. "die gleichmäßige Grenzfunktion ist
> auch die punktweise Grenzfunktion", während die umgekehrte
> Aussage i.a. Unsinn ist, da punktweise Kgz. ja nicht die
> glm. impliziert.
>
Danke für den Tipp, ich werde es mir definitiv merken.
Ich hätte noch eine kleine Frage zu dem Integral, dass ich berechnen soll.
muss ich dieses zur berechnung aufspalten also von -1 bis 0 und von 0 bis 1 oder kann ich da einfach über die null drüber integrieren?
Vielen vielen Dank für Deine Geduld und die super Hilfe und Erklärung!
Hat mir wirklich sehr viel gebracht ! :)
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Okay, dann wäre ja für [mm]n \to \infty[/mm] werden immer weniger
> > > [mm]f_n[/mm]'s gleich 0?
> >
> > Achtung: Du meinst was komplett anderes als das, was da
> > steht. Was da steht, ist, dass "es immer weniger [mm]f_n[/mm]'s"
> > (was immer hier auch "immer weniger" bedeutet) gibt, die
> > die Nullfunktion sind.
> >
> > Was Du meinst, ist, dass der Bereich, wo die (auf [-1,1]
> > definierten) [mm]f_n[/mm]'s konstant [mm]0\,[/mm] ist, immer mehr schrumpft.
> >
> > Aber natürlich ist das so. Ich finde das auch gar nicht
> > schlecht: Die [mm]f_n=f_{\epsilon_n}[/mm] sollen doch sogar
> > gleichmäßig gegen [mm]f\,[/mm] konvergieren. Das, was wir hier
> > sehen, läßt uns doch wenigstens schonmal die punktweise
> > Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f\,[/mm] erkennen. Die gleichmäßige
> > Konvergenz eigentlich auch schon, aber da die meisten Leute
> > "Probleme mit der Vorstellung des [mm]\epsilon[/mm]-Schlauchs um die
> > erhoffte Grenzfunktion" haben (dabei kann man das wirklich
> > auch anhand der Graphen, jedenfalls bei reellwertiger
> > Funktionen einer reellen Variablen, schön "zeigen", was
> > die glm. Konvergenz bedeutet), erwarte ich das nicht
> > unbedingt. Aber Du kannst ja mal versuchen, ob es sich
> > formal beweisen läßt.
>
> Okay, jetzt macht das alles wirklich schon viel mehr sinn
> und ich verstehe jetzt auch, was wir da eigentlich gemacht
> haben ;)
So soll es sein. Und so langsam kommst Du dann auch dahinter, was bei einer Funktionenfolge die gleichmäßige Konvergenz ist (und auch die punktweise). Das ist eben der Grund, warum es nicht nur Theorie, sondern auch Übungsaufgaben in der Mathematik gibt. Damit man das, was theoretisch alles so wunderbar schnell von der Hand geschrieben wird, auch in Anwendungen verstanden wird - und dann "rafft" man das Zeugs meistens auch besser 
> > P.S.: Eine einfache Erkenntnis, die mich in meinem Studium
> > verwirrte, weil sie mir niemand sagte (oder ich es verpennt
> > hatte, genau zuzuhören), will ich Dir aber noch mitgeben -
> > wie gesagt: Ich habe es mir mal selbst überlegt, weil mir
> > das bei einer Übungsaufgabe nicht klar war:
> > Falls die Konvergenz [mm]f_n \to f[/mm] gleichmäßig ist, dann
> > konvergiert [mm](f_n)_n[/mm] auch punktweise - und zwar GEGEN DAS
> > GLEICHE [mm]f\,.[/mm] D.h. "die gleichmäßige Grenzfunktion ist
> > auch die punktweise Grenzfunktion", während die umgekehrte
> > Aussage i.a. Unsinn ist, da punktweise Kgz. ja nicht die
> > glm. impliziert.
> >
>
> Danke für den Tipp, ich werde es mir definitiv merken.
>
> Ich hätte noch eine kleine Frage zu dem Integral, dass ich
> berechnen soll.
> muss ich dieses zur berechnung aufspalten also von -1 bis
> 0 und von 0 bis 1 oder kann ich da einfach über die null
> drüber integrieren?
Die Grenzfunktion direkt zu integrieren wird sicher nicht ganz so trivial sein. Aber Du kannst sicher jedes [mm] $f_n$ [/mm] integrieren. Danach kannst Du
[mm] $$\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx$$
[/mm]
benutzen, sofern Du den rechtsstehenden Grenzwert berechnet bekommst. Diese Gleichheit gilt dann, sofern Du die glm. Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen [mm] $f\,$ [/mm] begründet hast.
Und die [mm] $f_n$ [/mm] sind eh Treppenfunktionen. Du kannst bei denen über die Null drüberintegrieren oder auch aufspalten. Das ginge auch unabhängig davon, dass die Funktionswerte dieser Treppenfunktionen nahe der Null eh alle verschwinden. Beachte übrigens, dass (grob formuliert) folgender Satz gilt: Das Abändern einer Funktion an abzählbar vielen Stellen ändert nicht den Wert des Integrals.
> Vielen vielen Dank für Deine Geduld und die super Hilfe
> und Erklärung!
> Hat mir wirklich sehr viel gebracht ! :)
Gerne!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > > > Okay, dann wäre ja für [mm]n \to \infty[/mm] werden immer weniger
> > > > [mm]f_n[/mm]'s gleich 0?
> > >
> > > Achtung: Du meinst was komplett anderes als das, was da
> > > steht. Was da steht, ist, dass "es immer weniger [mm]f_n[/mm]'s"
> > > (was immer hier auch "immer weniger" bedeutet) gibt, die
> > > die Nullfunktion sind.
> > >
> > > Was Du meinst, ist, dass der Bereich, wo die (auf [-1,1]
> > > definierten) [mm]f_n[/mm]'s konstant [mm]0\,[/mm] ist, immer mehr schrumpft.
> > >
> > > Aber natürlich ist das so. Ich finde das auch gar nicht
> > > schlecht: Die [mm]f_n=f_{\epsilon_n}[/mm] sollen doch sogar
> > > gleichmäßig gegen [mm]f\,[/mm] konvergieren. Das, was wir hier
> > > sehen, läßt uns doch wenigstens schonmal die punktweise
> > > Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f\,[/mm] erkennen. Die gleichmäßige
> > > Konvergenz eigentlich auch schon, aber da die meisten Leute
> > > "Probleme mit der Vorstellung des [mm]\epsilon[/mm]-Schlauchs um die
> > > erhoffte Grenzfunktion" haben (dabei kann man das wirklich
> > > auch anhand der Graphen, jedenfalls bei reellwertiger
> > > Funktionen einer reellen Variablen, schön "zeigen", was
> > > die glm. Konvergenz bedeutet), erwarte ich das nicht
> > > unbedingt. Aber Du kannst ja mal versuchen, ob es sich
> > > formal beweisen läßt.
> >
> > Okay, jetzt macht das alles wirklich schon viel mehr sinn
> > und ich verstehe jetzt auch, was wir da eigentlich gemacht
> > haben ;)
>
> So soll es sein. Und so langsam kommst Du dann auch
> dahinter, was bei einer Funktionenfolge die gleichmäßige
> Konvergenz ist (und auch die punktweise). Das ist eben der
> Grund, warum es nicht nur Theorie, sondern auch
> Übungsaufgaben in der Mathematik gibt. Damit man das, was
> theoretisch alles so wunderbar schnell von der Hand
> geschrieben wird, auch in Anwendungen verstanden wird - und
> dann "rafft" man das Zeugs meistens auch besser
>
> > > P.S.: Eine einfache Erkenntnis, die mich in meinem Studium
> > > verwirrte, weil sie mir niemand sagte (oder ich es verpennt
> > > hatte, genau zuzuhören), will ich Dir aber noch mitgeben -
> > > wie gesagt: Ich habe es mir mal selbst überlegt, weil mir
> > > das bei einer Übungsaufgabe nicht klar war:
> > > Falls die Konvergenz [mm]f_n \to f[/mm] gleichmäßig ist,
> dann
> > > konvergiert [mm](f_n)_n[/mm] auch punktweise - und zwar GEGEN DAS
> > > GLEICHE [mm]f\,.[/mm] D.h. "die gleichmäßige Grenzfunktion ist
> > > auch die punktweise Grenzfunktion", während die umgekehrte
> > > Aussage i.a. Unsinn ist, da punktweise Kgz. ja nicht die
> > > glm. impliziert.
> > >
> >
> > Danke für den Tipp, ich werde es mir definitiv merken.
> >
> > Ich hätte noch eine kleine Frage zu dem Integral, dass ich
> > berechnen soll.
> > muss ich dieses zur berechnung aufspalten also von -1
> bis
> > 0 und von 0 bis 1 oder kann ich da einfach über die null
> > drüber integrieren?
>
> Die Grenzfunktion direkt zu integrieren wird sicher nicht
> ganz so trivial sein. Aber Du kannst sicher jedes [mm]f_n[/mm]
> integrieren. Danach kannst Du
> [mm]\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx[/mm]
>
> benutzen, sofern Du den rechtsstehenden Grenzwert berechnet
> bekommst. Diese Gleichheit gilt dann, sofern Du die glm.
> Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f\,[/mm] begründet hast.
Kann ich hier die glm. konvergenz mit [mm] $\forall \epsilon>0 \exists n_0 \in \IN \forall [/mm] x [mm] \in \IR \forall [/mm] n [mm] \geq n_0 [/mm] : [mm] |f_n [/mm] (x) - f(x)| [mm] \le \epsilon$ [/mm] nachweisen?
Muss ich da dann eine Fallunterscheidung vornhemen für die verschiedenen intervalle in denen x liegen kann oder liege ich mal wieder total falsch? :D
>
> Und die [mm]f_n[/mm] sind eh Treppenfunktionen. Du kannst bei denen
> über die Null drüberintegrieren oder auch aufspalten. Das
> ginge auch unabhängig davon, dass die Funktionswerte
> dieser Treppenfunktionen nahe der Null eh alle
> verschwinden. Beachte übrigens, dass (grob formuliert)
> folgender Satz gilt: Das Abändern einer Funktion an
> abzählbar vielen Stellen ändert nicht den Wert des
> Integrals.
>
> > Vielen vielen Dank für Deine Geduld und die super Hilfe
> > und Erklärung!
> > Hat mir wirklich sehr viel gebracht ! :)
>
> Gerne!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mi 18.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Also kann ich hier dann z.B. betrachten:
[mm] $|x|>\epsilon$:
[/mm]
[mm] $|f_n [/mm] (x) - f(x)|=|f(x)-f(x)|=0 < [mm] \epsilon$
[/mm]
Da ja, so wie wir [mm] $f_n$ [/mm] defninert haben ja für $|x|> [mm] \epsilon$ [/mm] gilt: [mm] $f_n [/mm] (x) = f(x)$ und [mm] $\epsilon$ [/mm] ja größer $0$ sein muss?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Grenzfunktion direkt zu integrieren wird sicher nicht
> > ganz so trivial sein. Aber Du kannst sicher jedes [mm]f_n[/mm]
> > integrieren. Danach kannst Du
> > [mm]\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx[/mm]
>
> >
> > benutzen, sofern Du den rechtsstehenden Grenzwert berechnet
> > bekommst. Diese Gleichheit gilt dann, sofern Du die glm.
> > Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f\,[/mm] begründet hast.
>
> Kann ich hier die glm. konvergenz mit [mm]\forall \epsilon>0 \exists n_0 \in \IN \forall x \in \IR \forall n \geq n_0 : |f_n (x) - f(x)| \le \epsilon[/mm]
> nachweisen?
natürlich. Das ist die Definition. (Wobei, strenggenommen, da Deine Funktion und die "Funktionen der Funktionenfolge" ja auch nur auf $[-1,1]$ definiert sind, oben anstatt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] natürlich [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ stehen muss.)
> Muss ich da dann eine Fallunterscheidung vornhemen für
> die verschiedenen intervalle in denen x liegen kann oder
> liege ich mal wieder total falsch? :D
Natürlich kannst Du. Und zwar ähnlich, wie Du das eben angedeutet hast, Du musst aber ein wenig aufpassen, dass Du bei mir bei den [mm] $f_n$ [/mm] "Intervalle mit Radius [mm] $\epsilon_n$" [/mm] hast, und Du auch ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ festhältst:
Du kannst zeigen:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $N=N_\epsilon\,$ [/mm] so, dass
[mm] $$|f_N(x)-f(x)| \le \epsilon$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in I_N:=[-\epsilon_N,\epsilon_N]\,.$ [/mm]
Damit kannst Du zeigen, dass sogar
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| \le \epsilon$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in I_N$ [/mm] (nein, das [mm] $N\,$ [/mm] steht hier nun absichtlich!) und alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt - das sollte man vielleicht noch formal sauberer hinschreiben, aber die Idee ist klar: Wenn ich [mm] $f_n$ [/mm] mit [mm] $f_N$ [/mm] für $n [mm] \ge [/mm] N$ vergleiche, "dann wird [mm] $f_n$ [/mm] ja an noch mehr Stellen, als es schon [mm] $f_N$ [/mm] tat, mit [mm] $f\,$ [/mm] übereinstimmen". Und außerhalb des Intervalls [mm] $I_N$ [/mm] ist wegen des gerade geschriebenen Satzes auch klar, dass jedes [mm] $f_n$ [/mm] mit [mm] $f\,$ [/mm] übereinstimmend bleibt.
Soweit die Idee. Den Formalismus überlasse ich nun Dir
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Die Grenzfunktion direkt zu integrieren wird sicher nicht
> > > ganz so trivial sein. Aber Du kannst sicher jedes [mm]f_n[/mm]
> > > integrieren. Danach kannst Du
> > > [mm]\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx[/mm]
>
> >
> > >
> > > benutzen, sofern Du den rechtsstehenden Grenzwert berechnet
> > > bekommst. Diese Gleichheit gilt dann, sofern Du die glm.
> > > Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f\,[/mm] begründet hast.
> >
> > Kann ich hier die glm. konvergenz mit [mm]\forall \epsilon>0 \exists n_0 \in \IN \forall x \in \IR \forall n \geq n_0 : |f_n (x) - f(x)| \le \epsilon[/mm]
> > nachweisen?
>
> natürlich. Das ist die Definition. (Wobei, strenggenommen,
> da Deine Funktion und die "Funktionen der Funktionenfolge"
> ja auch nur auf [mm][-1,1][/mm] definiert sind, oben anstatt [mm]\forall x \in \IR[/mm]
> natürlich [mm]\forall x \in [-1,1][/mm] stehen muss.)
>
> > Muss ich da dann eine Fallunterscheidung vornhemen für
> > die verschiedenen intervalle in denen x liegen kann oder
> > liege ich mal wieder total falsch? :D
>
> Natürlich kannst Du. Und zwar ähnlich, wie Du das eben
> angedeutet hast, Du musst aber ein wenig aufpassen, dass Du
> bei mir bei den [mm]f_n[/mm] "Intervalle mit Radius [mm]\epsilon_n[/mm]"
> hast, und Du auch ein [mm]\epsilon > 0[/mm] festhältst:
> Du kannst zeigen:
> Sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann gibt es ein [mm]N=N_\epsilon\,[/mm] so,
> dass
> [mm]|f_N(x)-f(x)| \le \epsilon[/mm]
> für alle [mm]x \in I_N:=[-\epsilon_N,\epsilon_N]\,.[/mm]
> Damit kannst Du zeigen, dass sogar
> [mm]|f_n(x)-f(x)| \le \epsilon[/mm]
> für alle [mm]x \in I_N[/mm] (nein, das
> [mm]N\,[/mm] steht hier nun absichtlich!) und alle [mm]n \ge N[/mm] gilt -
> das sollte man vielleicht noch formal sauberer
> hinschreiben, aber die Idee ist klar: Wenn ich [mm]f_n[/mm] mit [mm]f_N[/mm]
> für [mm]n \ge N[/mm] vergleiche, "dann wird [mm]f_n[/mm] ja an noch mehr
> Stellen, als es schon [mm]f_N[/mm] tat, mit [mm]f\,[/mm] übereinstimmen".
> Und außerhalb des Intervalls [mm]I_N[/mm] ist wegen des gerade
> geschriebenen Satzes auch klar, dass jedes [mm]f_n[/mm] mit [mm]f\,[/mm]
> übereinstimmend bleibt.
>
> Soweit die Idee. Den Formalismus überlasse ich nun Dir
>
>
Okay, das richtig zu formulieren, das kriege ich hin :)
Aber nochmal eine Frage zu dem Integral:
[mm]\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx[/mm]
Da weiß ich noch nicht wirklich, wie ich das anpacken soll.
Also die umformung, wegen der gleichm. konvergenz von$ [mm] f_n$ [/mm] ist mehr als einleuchtend. Aber wie ich nun diesen rechten granzwert berechnen soll, weiß ich noch nicht so ganz.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber nochmal eine Frage zu dem Integral:
> [mm]\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx[/mm]
>
> Da weiß ich noch nicht wirklich, wie ich das anpacken
> soll.
> Also die umformung, wegen der gleichm. konvergenz von[mm] f_n[/mm]
> ist mehr als einleuchtend. Aber wie ich nun diesen rechten
> granzwert berechnen soll, weiß ich noch nicht so ganz.
das kannst Du auch erst sehen, wenn Du
[mm] $$\int_{-1}^1 f_n(x)dx=:a_n$$
[/mm]
mal hingeschrieben hast. Danach ist dann [mm] $\lim_{n \to\infty} a_n$ [/mm] zu berechnen!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Aber nochmal eine Frage zu dem Integral:
> > [mm]\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx[/mm]
>
> >
> > Da weiß ich noch nicht wirklich, wie ich das anpacken
> > soll.
> > Also die umformung, wegen der gleichm. konvergenz von[mm] f_n[/mm]
> > ist mehr als einleuchtend. Aber wie ich nun diesen rechten
> > granzwert berechnen soll, weiß ich noch nicht so ganz.
>
> das kannst Du auch erst sehen, wenn Du
> [mm]\int_{-1}^1 f_n(x)dx=:a_n[/mm]
> mal hingeschrieben hast. Danach
> ist dann [mm]\lim_{n \to\infty} a_n[/mm] zu berechnen!
Ja, aber mein Problem bleibt doch das gleiche?! :)
Brauche ich nicht eine Stammfunktion um diesen Grenzwert zu bestimmen?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Aber nochmal eine Frage zu dem Integral:
> > > [mm]\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 (\lim_{n \to \infty} f_n(x))dx=\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1f_n(x)dx[/mm]
>
> >
> > >
> > > Da weiß ich noch nicht wirklich, wie ich das anpacken
> > > soll.
> > > Also die umformung, wegen der gleichm. konvergenz
> von[mm] f_n[/mm]
> > > ist mehr als einleuchtend. Aber wie ich nun diesen rechten
> > > granzwert berechnen soll, weiß ich noch nicht so ganz.
> >
> > das kannst Du auch erst sehen, wenn Du
> > [mm]\int_{-1}^1 f_n(x)dx=:a_n[/mm]
> > mal hingeschrieben hast.
> Danach
> > ist dann [mm]\lim_{n \to\infty} a_n[/mm] zu berechnen!
>
> Ja, aber mein Problem bleibt doch das gleiche?! :)
> Brauche ich nicht eine Stammfunktion um diesen Grenzwert
> zu bestimmen?
häh? Wieso? Treppenfunktionen zu integrieren ist doch wirklich einfach:
Der Graph einer Treppenfunktion [mm] $f_n$ [/mm] schließt doch mit der $x$-Achse "endlich viele Rechtecke" ein.
Natürlich kannst Du das auch so machen, indem Du immer nur über die Bereiche integrierst, wo die Funktion konstant ist - und dann nachher alles aufaddierst.
Bsp.:
[mm] $$\int_{-2}^1 [/mm] f(x)dx$$
mit [mm] $f(x)=-1\,$ [/mm] für $x [mm] \in (-2,\;-1]\,,$ $f(x)=12\,$ [/mm] für $x [mm] \in (-1,\;1/2]$ [/mm] und $f(x)=3$ für $x [mm] \in [1/2,\;1]$ [/mm] kannst Du so berechnen
[mm] $$\int_{-2}^1 f(x)dx=\int_{-2}^{-1}-1dx+\int_{-1}^{1/2}12dx+\int_{1/2}^1 3dx\,.$$
[/mm]
Das kannst Du dann mit dem HDI ausrechnen [mm] ($\int [/mm] cdx=c*x+K$ mit Konstanten [mm] $c\,,\;K\,.$) [/mm] Und graphisch rechnest Du da auch mit Rechtecken (beachte: "die Seitenorientierung" der Rechtecke haben dabei Einfluß auf das Vorzeichen des Integralwert's - der stimmt also i.a. "nur betragsmäßig" mit dem Flächeninhalt des Rechtecks überein. Oben hat etwa das erste Integral rechterhand ein negatives Vorzeichen.)
Bei Dir sind halt sowohl die Grenzen als auch die "konstanten Bereiche" von [mm] $n\,$ [/mm] abhängig, da steht also sowas wie
[mm] $$\int_{r_n}^{s_n} c_ndx\,,$$
[/mm]
wobei bei Dir zudem alle [mm] $c_n [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Nach dem $HDI$ kannst Du schreiben
[mm] $$\int_{r_n}^{s_n}c_ndx=c_n*(s_n-r_n)\,.$$
[/mm]
Für [mm] $r_n \le s_n$ [/mm] hast Du da immer einen "Rechteckflächeninhalt" stehen.
D.h.
[mm] $$\int_{-1}^1 f_n(x)dx$$
[/mm]
berechnest Du "durch Zerlegung von $[-1,1]$ so, dass Du mit endlich vielen Rechtecken (die jeweils untere Rechteckseite kannst Du quasi so festlegen, dass der Graph von [mm] $f\,,$ [/mm] eingeschränkt auf diese "Rechteckseite", "eine Stufe" ist) der obigen Art stückweise deren Flächeninhalt berechnen kannst. Danach addierst Du alle Rechteckflächen und bekommst dann den gesuchten Integralwert für [mm] $f_n\,.$"
[/mm]
D.h. in Abhängigkeit von [mm] $n\,$ [/mm] wirst Du [mm] $a_n=\int_{-1}^1 f_n(x)dx$ [/mm] mit der obigen "Rechteckmethode" hinschreiben können. Und dann hoffentlich sehen, wogegen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert.
(Würde man etwa [mm] $a_n=\pi-2/n^3$ [/mm] erhalten, so würde [mm] $a_n \to \pi$ [/mm] gelten. Natürlich sind das nur "Phantasiewerte" für [mm] $a_n\,.$ [/mm] Die richtigen sollst Du ja berechnen!)
Gruß,
Marcel
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Wäre das in meinem fall dann:
[mm] $\integral_{-\bruch{1}{n}}^{-\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n+2}dx}+\integral_{\bruch{1}{n}}^{\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n+2}dx}$
[/mm]
??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> Wäre das in meinem fall dann:
>
> [mm]\integral_{-\bruch{1}{n}}^{-\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n+2}dx}+\integral_{\bruch{1}{n}}^{\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n+2}dx}[/mm]
>
> ??
wie hast Du nun denn die [mm] $f_n$ [/mm] genau definiert (oder anders gefragt: die [mm] $\epsilon_n$)?
[/mm]
Welches [mm] $f_n$ [/mm] betrachtest Du denn oben? Bei Dir kommen bei jedem [mm] $\int_{-1}^{1} f_m(x)dx$ [/mm] sicherlich solche "Rechteckflächen" vor - aber die haben dann die Form
[mm] $$\int_{1/(n+1)}^{1/n}(1/(n+2))dx\,.$$
[/mm]
(Du sollst ja nachher [mm] $\int_{-1}^1 [/mm] f(x)dx$ angeben, nicht [mm] $\int_{1}^{-1}f(x)dx=-\int_{-1}^1f(x)dx\,.$ [/mm] Auch, wenn es da nur um ein Vorzeichen geht!)
Davon gibt's aber mehrere - deren Anzahl hängt von [mm] $n\,$ [/mm] ab. Ich vermute auch, ohne hier alles genau ausgerechnet zu haben, dass Du bei
[mm] $$\lim a_n$$
[/mm]
am Ende einen Reihenwert der Art
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty s_k$$
[/mm]
stehen haben wirst, den Du vielleicht nicht konkret angeben kannst. (Da wird dann sowas gelten wir [mm] $a_{n+1}=a_n+s_{n}\,.$) [/mm] Aber wenigstens die Konvergenz der Reihe (also der entsprechenden Teilsummenfolgen [mm] $\left(\sum_{k=0}^n s_k\right)_{n \in \IN}$) [/mm] sollte man dann begründen - auch, wenn der genau Reihenwert (und damit der gesuchte Integralwert [mm] $\int_{-1}^1f(x)dx$) [/mm] evtl. "mystisch" bleibt. Da ich die Aufgabe nicht durchgerechnet habe, kann ich Dir auch nicht sagen, ob man den Wert evtl. doch konkret angeben kann. Aber wie gesagt: Es ist Deine Aufgabe.
P.S.:
Bevor wir uns hier im Kreise drehen:
Wenn Du Deine [mm] $f_n$ [/mm] mal konkret hingeschrieben hast (also eine konkrete Nullfolge [mm] $\epsilon_n$ [/mm] mit $(0,1) [mm] \ni \epsilon_n \to [/mm] 0$ vorgibst),
zeichne Dir wirklich mal die Graphen der ersten 10 [mm] $f_n$ [/mm] hin und berechne wirklich mal die ersten zugehörigen 10 Integralwerte. Ich denke, wenn Du die ersten 3 bis 5 Integralwerte mal ausgerechnet hast (hier durch die "Rechteckmethode": d.h. indem Du Dir "den Flächeninhalt unter [mm] $f_n$ [/mm] als Summe entsprechender Rechtecke, die stückweise vom Graphen von [mm] $f_n$ [/mm] mit der [mm] $x\,$-Achse [/mm] eingeschlossen werden - es liegen hier ja nur Treppenfunktionen vor!"), werden sich viele Deiner Fragen von selbst klären. Nur beim Aufschreiben musst Du dann halt, wie es immer ist, wenn Du es "analog überträgst", auch aufpassen, dass das, was Du formal schreibst, auch die Methodik widerspiegelt, mit der Du dann vorgegangen bist.
Wenn Du oft genug "Integralwerte bei konkreten Treppenfunktionen" berechnet hast, wird es Dir irgendwann leicht von der Hand fallen, das ganze auch auf Funktionen zu übertragen, die meinetwegen "nicht überall ganz so konkrete Zahlenwerte stehen haben".
Trivialstes Beispiel:
Ist $f(x)=3$ auf [mm] $[-1,1]\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$\int_{-1}^1 3dx=3*(1-(-1))=3*2=6\,.$$
[/mm]
Wenn man da verstanden hat, wie das zusstandekommt, fällt es leicht, das ganze "minimal abstrakter zu formulieren":
Ist $f(x)=c$ mit einer konstanten Zahl [mm] $c\,$ [/mm] auf [mm] $[a,b]\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$\int_{a}^b cdx=c*(b-a)\,.$$
[/mm]
Im Prinzip ist bei Deiner Aufgabe nicht mehr als solch eine Analogie noch gefragt - jedenfalls um
[mm] $$\int_{-1}^1 f_n(x)dx=:a_n$$
[/mm]
anzugeben.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> >
> > Wäre das in meinem fall dann:
> >
> >
> [mm]\integral_{-\bruch{1}{n}}^{-\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n+2}dx}+\integral_{\bruch{1}{n}}^{\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n+2}dx}[/mm]
> >
> > ??
>
> wie hast Du nun denn die [mm]f_n[/mm] genau definiert (oder anders
> gefragt: die [mm]\epsilon_n[/mm])?
>
> Welches [mm]f_n[/mm] betrachtest Du denn oben? Bei Dir kommen bei
> jedem [mm]\int_{-1}^{1} f_m(x)dx[/mm] sicherlich solche
> "Rechteckflächen" vor - aber die haben dann die Form
> [mm]\int_{1/(n+1)}^{1/n}(1/(n+2))dx\,.[/mm]
Also ich hab mir jetzt mal versucht das vorzustellen und einfach mal ein paar werte berechnet:
für n=1:
[mm] $\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}\bruch{1}{3}dx$
[/mm]
n=2:
[mm] $\integral_{\bruch{1}{3}}^{\bruch{1}{2}}\bruch{1}{4}dx$
[/mm]
n=3:
[mm] $\integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{1}{3}}\bruch{1}{5}dx$
[/mm]
somit würde ich gesamt ja die summe bekommen:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{n+2}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}})=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+2}\cdot \bruch{1}{n^2 + n}$
[/mm]
>
> (Du sollst ja nachher [mm]\int_{-1}^1 f(x)dx[/mm] angeben, nicht
> [mm]\int_{1}^{-1}f(x)dx=-\int_{-1}^1f(x)dx\,.[/mm] Auch, wenn es da
> nur um ein Vorzeichen geht!)
>
> Davon gibt's aber mehrere - deren Anzahl hängt von [mm]n\,[/mm] ab.
> Ich vermute auch, ohne hier alles genau ausgerechnet zu
> haben, dass Du bei
> [mm]\lim a_n[/mm]
> am Ende einen Reihenwert der Art
> [mm]\sum_{k=0}^\infty s_k[/mm]
> stehen haben wirst, den Du
> vielleicht nicht konkret angeben kannst. (Da wird dann
> sowas gelten wir [mm]a_{n+1}=a_n+s_{n}\,.[/mm]) Aber wenigstens die
> Konvergenz der Reihe (also der entsprechenden
> Teilsummenfolgen [mm]\left(\sum_{k=0}^n s_k\right)_{n \in \IN}[/mm])
> sollte man dann begründen - auch, wenn der genau
> Reihenwert (und damit der gesuchte Integralwert
> [mm]\int_{-1}^1f(x)dx[/mm]) evtl. "mystisch" bleibt. Da ich die
> Aufgabe nicht durchgerechnet habe, kann ich Dir auch nicht
> sagen, ob man den Wert evtl. doch konkret angeben kann.
> Aber wie gesagt: Es ist Deine Aufgabe.
>
> P.S.:
> Bevor wir uns hier im Kreise drehen:
> Wenn Du Deine [mm]f_n[/mm] mal konkret hingeschrieben hast (also
> eine konkrete Nullfolge [mm]\epsilon_n[/mm] mit [mm](0,1) \ni \epsilon_n \to 0[/mm]
> vorgibst),
> zeichne Dir wirklich mal die Graphen der ersten 10 [mm]f_n[/mm] hin
> und berechne wirklich mal die ersten zugehörigen 10
> Integralwerte. Ich denke, wenn Du die ersten 3 bis 5
> Integralwerte mal ausgerechnet hast (hier durch die
> "Rechteckmethode": d.h. indem Du Dir "den Flächeninhalt
> unter [mm]f_n[/mm] als Summe entsprechender Rechtecke, die
> stückweise vom Graphen von [mm]f_n[/mm] mit der [mm]x\,[/mm]-Achse
> eingeschlossen werden - es liegen hier ja nur
> Treppenfunktionen vor!"), werden sich viele Deiner Fragen
> von selbst klären. Nur beim Aufschreiben musst Du dann
> halt, wie es immer ist, wenn Du es "analog überträgst",
> auch aufpassen, dass das, was Du formal schreibst, auch die
> Methodik widerspiegelt, mit der Du dann vorgegangen bist.
> Wenn Du oft genug "Integralwerte bei konkreten
> Treppenfunktionen" berechnet hast, wird es Dir irgendwann
> leicht von der Hand fallen, das ganze auch auf Funktionen
> zu übertragen, die meinetwegen "nicht überall ganz so
> konkrete Zahlenwerte stehen haben".
>
> Trivialstes Beispiel:
> Ist [mm]f(x)=3[/mm] auf [mm][-1,1]\,,[/mm] so ist
> [mm]\int_{-1}^1 3dx=3*(1-(-1))=3*2=6\,.[/mm]
>
> Wenn man da verstanden hat, wie das zusstandekommt, fällt
> es leicht, das ganze "minimal abstrakter zu formulieren":
> Ist [mm]f(x)=c[/mm] mit einer konstanten Zahl [mm]c\,[/mm] auf [mm][a,b]\,,[/mm] so
> ist
> [mm]\int_{a}^b cdx=c*(b-a)\,.[/mm]
>
> Im Prinzip ist bei Deiner Aufgabe nicht mehr als solch eine
> Analogie noch gefragt - jedenfalls um
> [mm]\int_{-1}^1 f_n(x)dx=:a_n[/mm]
> anzugeben.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Do 19.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> für n=1:
> [mm]\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}\bruch{1}{3}dx[/mm]
> n=2:
> [mm]\integral_{\bruch{1}{3}}^{\bruch{1}{2}}\bruch{1}{4}dx[/mm]
> n=3:
> [mm]\integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{1}{3}}\bruch{1}{5}dx[/mm]
>
> somit würde ich gesamt ja die summe bekommen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{1}{n+2}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}})=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+2}\cdot \bruch{1}{n^2 + n}[/mm]
wenn ich mal davon ausgehe, dass Du Dir "nur" die (punktweise und glm.) Grenzfunktion [mm] $f\,$ [/mm] angeschaut hast, dann sieht das so ähnlich aus - Du hast halt vergessen, dass die Funktion auch auf $[-1,0)$ definiert ist. Sie ist allerdings symmetrisch zur [mm] $y\,$-Achse, [/mm] daher nimmst Du obigen Reihenwert einfach [mm] $\cdot [/mm] 2$ und alles ist gut.
Allerdings ging es ja auch darum, zu begründen, warum das, was man so "sieht", auch passt. Eigentlich hättest Du so etwas herleiten müssen (jedes [mm] $f_n$ [/mm] ist auch bei Dir symmetrisch zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] (d.h. es gilt stets [mm] $f(-x)=f(x)\,$)):
[/mm]
[mm] $$\int_{-1}^1 f_n(x)dx=2*\sum_{k=0}^{m_n} \frac{1}{k+2}*\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=2*\sum_{k=0}^{m_n} \frac{1}{(k+2)*(k^2+k)}\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $(m_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IN$ [/mm] und hängt von Deiner Wahl der [mm] $\epsilon_n$ [/mm] bzw. der Wahl der [mm] $f_n$ [/mm] ab (es war [mm] $f_{\epsilon_n}=:f_n$). [/mm]
Wegen pktw. Kgz. gilt ja offenbar
[mm] $$\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1\lim_{n \to \infty}f_{m_n}(x)dx\,,$$
[/mm]
(wenn eine Folge konvergiert, so auch jede ihrer Teilfolgen und zwar gegen den gleichen Grenzwert!)
und wegen der glm. Kgz. dürfen wir "rechterhand [mm] $\lim$ [/mm] und [mm] $\int$ [/mm] 'vertauschen' ":
[mm] $$\int_{-1}^1\lim_{n \to \infty}f_{m_n}(x)dx=\lim_{n \to \infty}\int_{-1}^1f_{m_n}(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{m_n} \frac{1}{(k+2)*(k^2+k)}=2* \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)*(k^2+k)}\,.$$
[/mm]
(Rechts steht der gleiche Reihenwert, den Du raushättest, wenn Du die Multiplikation Deiner Reihe mit [mm] $2\,$ [/mm] ausgeführt hast - nur, dass Deine Laufvariabe dort anders heißt.)
Das ganze hätte sich so ergeben, wenn Du [mm] $(m_n)_n$ [/mm] streng monoton gehabt hättest, und dann hättest Du auch ein oder zweimal das obige "Teilfolgenargument", was Du in Klammern findest, benutzen müssen. Im "einfachsten" Falle hättest Du aber die [mm] $f_n$ [/mm] so gewählt, dass [mm] $m_n=n\,.$ [/mm] Und dann ersparst Du Dir das "Teilfolgenargument".
Der Sinn der Aufgabe war quasi: Mit der Folge der Treppenfunktionen, die glm. gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert, erhält man für das Integral von -1 bis 1 über [mm] $f\,$ [/mm] den Reihenwert, den man auch "erwarten" würde, wenn man [mm] $f\,$ [/mm] "so integriert, wie Du es getan hast". Das haben wir im Endeffekt hier bewiesen - wichtig dabei war aber, dass [mm] $(f_n)_n$ [/mm] eine Folge von Treppenfunktionen ist, die glm. gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert.
Btw.: Wie habt ihr denn Integrale eingeführt? Denn dieses Vertauschen von [mm] $\lim$ [/mm] und [mm] $\int$ [/mm] bei einer Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] von Treppenfunktionen, die glm. gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert, kann man ja auch als Definition von [mm] $\int_a^b [/mm] f$ hernehmen. Dann beweist man, dass [mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx$ unabhängig vonder Wahl der Treppenfunktion, die glm. gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert,
Der Unterschied wäre dann hier nur:
Wir hätten die obige Gleichheit von [mm] $\int_{-1}^1 [/mm] f(x)dx=2* [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)*(k^2+k)}$ [/mm] quasi "per Definitionem von [mm] $\int_{-1}^1 [/mm] f(x)dx$" berechnet!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo
> > a) ist 1/(x+2) für x>0 und 1/(n+2) für x<0 richtig?
>
> Sorry, das sollte beides 1/(n+2) heißen! :)
hab's Dir editiert!
Gruß,
Marcel
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