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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Do 17.05.2007 | | Autor: | Nadine87 |
| Aufgabe | Hi!
Also, ich hab da ein Problem und hoffe ihr könnt mir helfen.
Die Aufgabe lautet:
Es seien a,b Element [mm] \IR [/mm] mit 0<a<b, p Element [mm] \IN [/mm] und f:[a,b]-> [mm] \IR [/mm] definiert durch f(x) := [mm] x^{p}. [/mm] Geben Sie eine Folge von Treppenfunktionen [mm] t_{n} [/mm] an mit [mm] t_{n} [/mm] -> f (n -> [mm] \infty [/mm] ) gleichmäßig auf [a,b], und zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{p} dx}= \bruch{b^{p+1}}{p+1} [/mm] - [mm] \bruch{a^{p+1}}{p+1}
[/mm]
gilt.
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Ich weiß, dass ich die Funktion auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen muss, allerdings weiß ich nicht genau, wie das funktioniert und weiter weiß ich dann auch nicht mehr.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Mfg
Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 17.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du hast doch eine stetige Funktion auf kompaktem Intervall, also ist f glm. stetig. Jetzt wählst du eine Folge von äquidistanten Zerlegungen, deren Feinheit gegen 0 konvergiert. Die entsprechenden Treppenfunktionen konstruierst du so:
1. In einem Zerlegungspunkt wählst du den Funktionswert in dem Punkt als Funktionswert der Treppenfunktion.
2. Zwischen den Zerlegungspunkten, wählst du als Funktionswert der Treppenfunktion, den Treppenfunktionswert des linken oder rechten Endpunktes.
So hast du zu jeder Zerlegung eine Treppenfunktion. Da deine Zerlegung immer feiner wird konvergieren die Treppenfunktionen nach Konstruktion gegen f. Die Konvergenz ist glm. weil f glm. stetig ist. (Das ist der "Kernpunkt des Beweises", das musst du zeigen, überlege mal was glm. Stetigkeit bedeutet). Jetzt hast du eine Folge von Treppenfunktionen die glm. gegen f konvergiert. Du kannst dann damit das Integral wie ihr es in der Vorlesung definiert habt berechnen.
Wenn du noch Fragen hast, melde dich.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hey!
Tut mir echt leid, aber ich kann mit deiner Antwort nicht allzu viel anfangen. Könntest du mir das noch ein bisschen ausführlicher erklären?
Lg
Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 22.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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