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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Es sei V ={ (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] : x+y+z=0}
Die Vektoren v1= (1 0 -1) v2=(1 -1 0) sowie v1'=(1 0 -1) v2'=(3 -2 -1) bilden geordnete Baden B, B' von V.
a) Zeigen Sie, dass V ein 2-dimensionaler Unterraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist (zu diesem Zeitpunkt sind die Basen noch nicht gegeben)
b) Bestimmen Sie die Transformationsmatrizen T (B',B) und T(B,B') |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
HI!
Ich komm hier irgendwie nicht so klar.
zu a) Wie kann ich denn wissen welchen Betrag die Basis hat ohne dass ich eine habe. Muss ich mir selbst eine bauen und beweisen, dass es eine ist. aber irgendwie ist das unlogisch, wenn ich dann basen gegeben habe.
zu b) Ich weiß das T(B',B) = [mm] M_{B',B} (id_{v}) [/mm] ist und dass [mm] S_{j} [/mm] (T(B',B))= [mm] I_{B'} (v_{j}) [/mm] (I ist hier kein I sondern so ein I wo noch ein kreis durch geht (wusste nicht wie ich das eingeben soll)) kann ich das damit schon berechnen, und wenn ja wie? wenn nicht, wie dann? ;)
Gruß Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Fr 20.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Katrin,
> zu a) Wie kann ich denn wissen welchen Betrag die Basis hat
> ohne dass ich eine habe. Muss ich mir selbst eine bauen und
> beweisen, dass es eine ist. aber irgendwie ist das
> unlogisch, wenn ich dann basen gegeben habe.
tja - gegeben ist eine Menge, zeigen musst du nun, dass es ein Unterraum ist und dass es eine Basis gibt, die zwei Elemente hat.
Dies hast du sicher beides vorher schonmal gemacht - das sollte hier nichts Neues mehr sein.
Ich würde mir auch eine Basis nehmen (die erste der beiden gegebenen und natürlich begründen, warum diese kanonisch ist) und zeigen, dass alles erfüllt ist, was verlangt wird.
> zu b) Ich weiß das T(B',B) = [mm]M_{B',B} (id_{v})[/mm] ist und dass
> [mm]S_{j}[/mm] (T(B',B))= [mm]I_{B'} (v_{j})[/mm] (I ist hier kein I sondern
> so ein I wo noch ein kreis durch geht (wusste nicht wie ich
> das eingeben soll)) kann ich das damit schon berechnen, und
> wenn ja wie? wenn nicht, wie dann? ;)
ok, weisst du denn, was T(B',B) sein soll?
dies ist die Matrix, die einen Vektor v, der in Basisdarstellung B' gegeben ist gleich lässt, aber in Basisdarstellung von B umwandelt.
Hier reicht es natürlich aus diese Umwandlungen der Basisvektoren von B' zu betrachten, den das ganze ist ja linear.
also, wenn du den $v'_1$ bzgl Basisdarstellung B' hast, dann ist das natürlich [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm]
Wenn du diesen an eine Matrix multiplizierst, erhälst du die erste Spalte, also ist die Darstellung von $v'_1$ ind B die erste Spalte der gesuchten Matrix.
analog ist $v'_2$ in Basisdarstellung von B die zweite Spalte der Matrix..
nun man kann eigentlich sofort ablesen, wie die Darstellungen von $v'_1$ und $v'_2$ in B aussehen (sich aus [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zusammensetzen), also musst du eigentlich nicht viel rechnen..
Wenn du es nicht siehst, welches Gleichungssystem müsstest du dann lösen?!?
Ach so, T(B,B') macht ja das inverse zu der obigen berechneten Matrix, also musst du diese wirklich nur Invertieren..
Kannst ja auch noch hier nachlesen :  Transformationsmatrix
viele Grüße
DaMenge
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