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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
a) Diese Matrix ist diagonalähnlich. Warum?
b) Finden Sie die orthogonale Transformationsmatrix S, die die Matrix A mit einer Diagonalmatrix D verbindet, d. h. [mm] S^{-1}AS=D. [/mm] |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht wirklich klar. Ich habe mal die Eigenwerte bestimmt, weil die wohl nach meinen Aufzeichnungen irgendwas damit zu tun haben und habe da 1, 2 und -1 raus. Stimmt das wenigstens schon mal?
Ich weiß wirklich nicht, was ich bei der a) zeigen soll und bei der b) habe ich nicht mal einen Ansatz. Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
Danke, Katrin
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internet-Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Sa 03.06.2006 | | Autor: | choosy |
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> a) Diese Matrix ist diagonalähnlich. Warum?
weil sie symmetrisch ist und symmetrische endomorphismen sind orthogonal diagonalisierbar...
sprich du kannst die jordannormalform aufstellen
>
> b) Finden Sie die orthogonale Transformationsmatrix S, die
> die Matrix A mit einer Diagonalmatrix D verbindet, d. h.
> [mm]S^{-1}AS=D.[/mm]
Also du brauchst zunächst die Eigenwerte und dann ein Orthonormalbasis der Eigenräume
diese Basen vereinigst du zu einer Basis des gesammten Vektorraumes.
Der Basiswechsel ist die gesuchte Transf.matrix, D ist die Jordan normalform
> Hallo,
>
> ich komme mit dieser Aufgabe nicht wirklich klar. Ich habe
> mal die Eigenwerte bestimmt, weil die wohl nach meinen
> Aufzeichnungen irgendwas damit zu tun haben und habe da 1,
> 2 und -1 raus. Stimmt das wenigstens schon mal?
ja, stimmt
>
> Ich weiß wirklich nicht, was ich bei der a) zeigen soll und
> bei der b) habe ich nicht mal einen Ansatz. Wäre super,
> wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
>
> Danke, Katrin
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internet-Forum
> gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 So 04.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo,
erst mal vielen Dank für die Antwort! Allerdings bin ich immer noch nicht so richtig viel weiter :-(. Ich glaube, teiweise liegt es daran, dass mir einfach auch die Begrifflichkeiten fehlen.
Zu der a): Dass die Matrix symmetrisch ist, sehe ich. Was genau ist die Jordan-Normalform? Es stehen nur Zahlen in der Hauptdiagonalen und alles andere ist Null? Ich dachte, ich könnte jede Matrix auf eine solche Form bringen. Das stimmt dann nicht?
Das heißt bei der a) würde ich jetzt die Matrix auf diese Hauptdiagonalenform bringen und damit wäre gezeigt, dass sie diagonalähnlich ist?
Zu b): Eigenwerte habe ich, aber wie ich an diese Orthonormalbasis komme und was ich dann damit mache, bleibt mir ein Rätsel :-(. Vielleicht kann mir da jemand noch mal eine Schritt-für-Schritt-Anleitung geben?
Vielen Dank, Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Katrin,
>
> Zu der a): Dass die Matrix symmetrisch ist, sehe ich. Was
> genau ist die Jordan-Normalform? Es stehen nur Zahlen in
> der Hauptdiagonalen und alles andere ist Null? Ich dachte,
> ich könnte jede Matrix auf eine solche Form bringen. Das
> stimmt dann nicht?
Bezüglich der Jordan-Normalform ist choosys Antwort vielleicht etwas verwirrend: Die Jordan-Normalform ist nicht gleichbedeutend mit der Diagonalform, die hier gesucht ist. Hier ist eine Diagonalmatrix gesucht, d.h. auf der Hauptdiagonalen stehen irgenwelche Werte, sonst stehen überall Nullen. Bei der Jordan-Normalform können auch noch Einsen in der ersten Reihe oberhalb der Hauptdiagonalen stehen. Eine Matrix ist immer dann ähnlich zu einer Jordan-Matrix, wenn ihr charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, d.h. über [mm] \IC [/mm] immer, über [mm] \IR [/mm] nicht unbedingt - aber das nur am Rande, denn für die Aufgabe braucht man das eigentlich nicht.
> Das heißt bei der a) würde ich jetzt die Matrix auf diese
> Hauptdiagonalenform bringen und damit wäre gezeigt, dass
> sie diagonalähnlich ist?
Das "auf Hauptdiagonalenform bringen" ist dann ja eigentlich schon Teil b). Wenn ihr den entsprechenden Satz schon hattet kann man wie choosy sagen, dass eine symmetrische Matrix immer diagonalisierbar ist. Andernfalls kann man auch über die Eigenwerte argumentieren: Wenn eine 3x3-Matrix 3 verschiedene Eigenwerte hat, dann muss sie auch diagonalisierbar sein, denn jeder dieser Eigenwerte hat ja mindestens geometrische Vielfachheit 1, d.h. ich bekomme 3 Eigenvektoren. Diese bilden dann eine Basis, bezüglich der die Matrix Diagonalform hat.
>
> Zu b): Eigenwerte habe ich, aber wie ich an diese
> Orthonormalbasis komme und was ich dann damit mache, bleibt
> mir ein Rätsel :-(. Vielleicht kann mir da jemand noch mal
> eine Schritt-für-Schritt-Anleitung geben?
Die Eigenwerte sind schon mal gut, denn die sagen Dir, wie D auszusehen hat: auf der Hauptdiaginalen stehen nämlich genau die Eigenwerte von A. Für die Aufgabe sind aber die Eigenvektoren wichtiger, denn die bilden ja eine Basis, bezüglich der A die gewünschte Form hat.
Also berechne erstmal die Eigenvktoren von A. Wenn mich nicht alles täuscht müssten sie in diesem Fall sogar orthogonal sein.
Die gefundenen Vektoren schreibst Du dann als Spalten in die Transformationsmatrix S und fertig....
Geschickt wäre es allerdings, dann nochmal [mm] S^{-1}AS [/mm] auszurechnen und zu sehen, ob dann auch wirklich eine Diagonalmatrix rauskommt.....
Gruß
piet
>
> Vielen Dank, Katrin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 04.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo noch mal,
erst mal danke Piet für deine ausführliche Antwort! Ich habe jetzt die Eigenvektoren ausgerechnet und bekomme raus:
für EW=1: [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
für EW=2: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
für EW=-1: [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Ich habe die dann als eine Matrix geschrieben und das ist dann mein S, ja? Dann habe ich die zu S inverse berechnet und dann
[mm] S^{-1}AS [/mm] ausgerechnet. Da kam ich dann wieder auf die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen. Dann müsste es doch stimmen, oder? Damit wäre die b) gelöst, nehme ich an. Ist die dann richtig?
Was genau ich da jetzt bei der a) hinschreiben muss, bleibt mir irgendwie noch immer ein Rätsel, aber ich denke, ich werde mir irgendwas zusammensuchen aus dem, was ihr bis jetzt geschrieben habt  .
Vielen Dank noch mal!
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Die Eigenvektoren stimmen schon mal, und da bei Dir auch noch dir Probe mit dem [mm] S^{-1}AS [/mm] hinhaut sollte das ganze so passen!
Gruß
piet
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