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| Aufgabe | Berechnen Sie die Laplace-Transformierte X(s) folgender Zeitfunktion x(t) über die Sätze der Laplace Transformation und bekannte Korrespondenzen:
x(t) = 5 [mm] t^2 \cosh(\omega [/mm] t) [mm] \theta(t) [/mm] |
Wie berechne ich die oben genannte Funktion. Ich würde sagen das hierbei der Satz der Differentiation im Bildbereich angewendet werden muss.
Hierbei kann die Funktion [mm] cos(\omega [/mm] t) ja geschrieben werden als: [mm] \frac{1}{2}( e^{\omega t} [/mm] + [mm] e^{-\omega t}).
[/mm]
Wenn ich das ganze jetzt richtig verstanden habe, dann muss von dem ganzen die 2te Ableitung berechnet werden, wobei ich die [mm] \frac{5}{2} [/mm] erstmal aufgrund der Linearität vergessen kann und das [mm] \theta(t) [/mm] dient ja eh nur damit das Signal Kausal ist. Kann also vernachlässigt werden.
Die Ableitung müsste wenn ich richtig gerechnet habe folgendes ergeben:
2(s - [mm] \omega)^{-3} [/mm] + 2(s + [mm] \omega)^{-3}. [/mm]
[mm] \frac{1}{2(s - \omega)^3} [/mm] + [mm] \frac{1}{2(s + \omega)^3}
[/mm]
Das ergibt sich anhand der Laplace Korrespondenz für die Exponentialfunktion, wen, ich das ganze richtig angewandt habe.
Das ganze würde ich jetzt noch auf einen Bruchstrich bringen und hätte meiner Ansicht nach das Ergebnis.
Allerdings wurde uns eine Lösung gegeben auf die ich irgendwie nicht komme. Ich weiß nicht ganz ob die Lösung richtig ist (Fehler sind ja bekanntlich menschlich), aber vielleicht könnte hier jemand mal die Aufgabe durchrechnen oder falls ich bereits etwas falsch gemacht habe mir einen Hinweis geben wie es richtig geht.
Die Lösung die ich erhalten habe lautet [mm] 10\frac{s(s^2 + 8\omega^2)}{(s^2 - \omega^2)^3}
[/mm]
Vielen Dank für die Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Fr 01.02.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die Laplace-Transformierte X(s) folgender
> Zeitfunktion x(t) über die Sätze der Laplace
> Transformation und bekannte Korrespondenzen:
>
> [mm]x(t) = 5 t^2 \cosh(\omega t) \theta(t)[/mm]
>
> Wie berechne ich die oben genannte Funktion. Ich würde
> sagen das hierbei der Satz der Differentiation im
> Bildbereich angewendet werden muss.
> Hierbei kann die Funktion [mm]cos(\omega t)[/mm] ja geschrieben
Nicht cos, sondern cosh!
> werden als: [mm]\frac{1}{2}( e^{\omega t} + e^{-\omega t})[/mm].
>
> Wenn ich das ganze jetzt richtig verstanden habe, dann muss
> von dem ganzen die 2te Ableitung berechnet werden, wobei
> ich die [mm]\frac{5}{2}[/mm] erstmal aufgrund der Linearität
> vergessen kann und das [mm]\theta(t)[/mm] dient ja eh nur damit das
> Signal Kausal ist. Kann also vernachlässigt werden.
Richtig, die Laplace-Transformation von [mm] $t^2 \cosh(\omega [/mm] t)$ ist die zweite Ableitung der Laplace-Trafo von [mm] $\cosh(\omega [/mm] t)$.
>
> Die Ableitung müsste wenn ich richtig gerechnet habe
> folgendes ergeben:
> [mm]2(s - \omega)^{-3} + 2(s + \omega)^{-3}.[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{2(s - \omega)^3} + \frac{1}{2(s + \omega)^3}[/mm]
>
> Das ergibt sich anhand der Laplace Korrespondenz für die
> Exponentialfunktion, wen, ich das ganze richtig angewandt
> habe.
>
> Das ganze würde ich jetzt noch auf einen Bruchstrich
> bringen und hätte meiner Ansicht nach das Ergebnis.
Der Faktor 5/2 fehlt noch, sonst stimmt es.
> Allerdings wurde uns eine Lösung gegeben auf die ich
> irgendwie nicht komme. Ich weiß nicht ganz ob die Lösung
> richtig ist (Fehler sind ja bekanntlich menschlich), aber
> vielleicht könnte hier jemand mal die Aufgabe durchrechnen
> oder falls ich bereits etwas falsch gemacht habe mir einen
> Hinweis geben wie es richtig geht.
>
> Die Lösung die ich erhalten habe lautet [mm]10\frac{s(s^2 + 8\omega^2)}{(s^2 - \omega^2)^3}[/mm]
Da hast du dich verrechnet:
[mm]10\frac{s(s^2 + \red{3}\omega^2)}{(s^2 - \omega^2)^3}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Fr 01.02.2013 | | Autor: | canogretic |
Vielen Dank für die Auskunft! Dann war ich ja zumindest nicht ganz auf dem Holzweg.
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