Transformation bei Basiswechse < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Sa 29.03.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Durch:
[mm] b_{1}=e_{1 }- 2e_{2}
[/mm]
[mm] b_{2}=e_{1} [/mm] + [mm] e_{3}
[/mm]
[mm] b_{3}= e_{2} [/mm] - [mm] e_{3}
[/mm]
ist ein Basiswechsel gegeben. Wie lauten die Komponenten des Vektors
[mm] x=e_{1} [/mm] + [mm] e_{2} [/mm] + [mm] e_{3} [/mm] bzgl. der Basis [mm] [b_{1}, b_{2}, b_{3}] [/mm] |
Ich weiss leider überhaupt nicht wie ich an so eine Aufgabe ran gehen muss. Bitte kann mir jemand Hilfe leisten. Das ganz soll glaube ich nicht durch matrizen gelöst werden. Kann mir jemand Tips geben? Wie muss ich anfangen?
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Durch:
> [mm]b_{1}=e_{1 }- 2e_{2}[/mm]
> [mm]b_{2}=e_{1}[/mm] + [mm]e_{3}[/mm]
> [mm]b_{3}= e_{2}[/mm] - [mm]e_{3}[/mm]
> ist ein Basiswechsel gegeben. Wie lauten die Komponenten
> des Vektors
> [mm]x=e_{1}[/mm] + [mm]e_{2}[/mm] + [mm]e_{3}[/mm] bzgl. der Basis [mm][b_{1}, b_{2}, b_{3}][/mm]
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast hier einen VR mit einer Basis [mm] E:=(e_1, e_2, e_3) [/mm] vorgegeben.
Die drei Vektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] bilden eine weitere Basis dieses Raumes.
Davon solltest Du Dich übungshalber mal, auch wenn es nicht in der Aufgabe gefordert ist, überzeugen.
Was Du nun tun sollst, ist folgendes:
Du sollst Koeffizienten [mm] k_1, k_2, k_3 [/mm] finden so, daß
[mm] e_1+e_ 2+e_3= k_1b_1 [/mm] + [mm] k_2b_2 [/mm] + [mm] k_3b_3 [/mm] gilt.
Diese Koeffizienten kannst Du ausrechnen, indem Du [mm] b_1 [/mm] durch [mm] e_{1 }- 2e_{2} [/mm] ersetzt, für die anderen ebenso.
Dann sortieren, [mm] (...)e_1+(...)e_2+(...)e_3=0, [/mm] und die lineare Unabhängigkeit der [mm] e_i [/mm] verwenden.
Damit bekommst Du die [mm] k_i, [/mm] die Komponenten bzgl. der Basis B.
Damit hast Du dann [mm] e_1+e_ 2+e_3= k_1b_1 [/mm] + [mm] k_2b_2 [/mm] + [mm] k_3b_3=\vektor{k_1\\k_2\\k_3}_B.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 29.03.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Wenn ich alles richtig gemacht habe, ist explizit bei dieser Aufgabe mein Ergebnis [mm] k_{1}= \bruch{1}{3} [/mm] ; [mm] k_{2}=\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] k_{3}= -\bruch{1}{3}
[/mm]
kann das jemand bestätigen? |
Danke für deine schnelle Antwort, ich glaube ich werde hier öfters mitarbeiten :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Wenn ich alles richtig gemacht habe, ist explizit bei
> dieser Aufgabe mein Ergebnis [mm]k_{1}= \bruch{1}{3}[/mm] ;
> [mm]k_{2}=\bruch{2}{3}[/mm] und [mm]k_{3}= -\bruch{1}{3}[/mm]
> kann das jemand bestätigen?
Also ich habe da etwas anderes raus. Daher kann ich es Dir leider nicht bestätigen. Aber Du scheinst auf dem richtigen Wege zu sein. Meine Lösung lautet:
[mm] $k_1=-\frac{1}{3}$, $k_2=\frac{4}{3}$
[/mm]
Da es schnell geht rechne ich es kurz vor: (wenn Du es selbst versuchen willst, dann lies nicht weiter)
Du ersetzt zunächst (wie von meiner Vorgängerin erwähnt) die [mm] $b_i$'s [/mm] durch die [mm] $e_i$-Terme [/mm] und klammerst anschließend die [mm] $e_i$'s [/mm] aus. Genauer:
[mm] $k_1b_1+k_2b_2+k_3b_3$
[/mm]
[mm] $=\,k_1(e_1-2e_2)+k_2(e_1+e_3)+k_3(e_2-e_3)$
[/mm]
[mm] $=\,e_1(k_1+k_2)+e_2(-2k_1+k_3)+e_3(k_2-k_3)$
[/mm]
Dein Ziel soll es nun sein, die [mm] $k_i$'s [/mm] so zu wählen, dass dort [mm] $e_1+e_2+e_3$ [/mm] steht. Daher müssen die Klammerausdrücke allesamt 1 ergeben. Auf diese Weise erhälst du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten
[mm] $k_1+k_2\,=\,1$
[/mm]
[mm] $-2k_1+k_3\,=\,1$
[/mm]
[mm] $k_2-k_3\,=\,1$
[/mm]
Die erste Gleichung lösen wir nach [mm] $k_1$ [/mm] auf und erhalten
[mm] $k_1\,=\,1-k_2$ [/mm] (*)
Nun ersetzen wir [mm] $k_1$ [/mm] in der zweiten Gleichung durch den soeben berechneten Ausdruck und lösen nach [mm] $k_3$ [/mm] auf
[mm] $-2k_1+k_3\,=\,-2+2k_2+k_3\,=\,1$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow\;k_3\,=\,-2k_2+3$ [/mm] (**)
Nun ersetzen wir [mm] $k_3$ [/mm] in der dritten Gleichung durch diesen Ausdruck und lösen nach [mm] $k_2$ [/mm] auf.
[mm] $k_2-k_3\,=\,k_2+2k_2-3\,=\,1$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow\;3k_2\,=\,4\;\Longrightarrow\;k_2\,=\,\frac{4}{3}$
[/mm]
Nun setzen wir diesen Wert in (*) und (**) ein und erhalten
[mm] $k_1\,=\,1-k_2\,=\,1-\frac{4}{3}\,=\,-\frac{1}{3}$ [/mm]
[mm] $k_3\,=\,-2k_2+3\,=\,-\frac{8}{3}+3\,=\,\frac{1}{3}$
[/mm]
Damit gilt:
[mm] $x\,=\,e_1+e_2+e_3\,=\,-\frac{1}{3}b_1+\frac{4}{3}e_2+\frac{1}{3}e_3$
[/mm]
Das war's. Ich hoffe das meine Erklärung verständlich war.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Sa 29.03.2008 | | Autor: | tobe |
Passt! Habe meinen klitze kleinen Fehler gefunden. Vielen Dank. Hat mir schonmal sehr weiter geholfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 31.03.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Die alten und neuen Koordinaten dreier Vektoren x,y,z seien durch die Identitäten
[mm] x=e_{1}+e_{2}+e_{3}=b_{1}-b{2}+b_{3}
[/mm]
[mm] y=e_{1}-e_{2}+e_{3}=b_{1}-2b{2}
[/mm]
[mm] z=e_{1}-e_{2}-e_{3}=-b_{1}+4b{3}
[/mm]
gegeben. Wie lautet der Basiswechsel?
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Hier ist die Problemstellung ja genau anders rum.
Ich habe das so gelöst:
[mm] e_{1}+e_{2}+e_{3}=b_{1}-b{2}+b_{3}
[/mm]
[mm] e_{1}-e_{2}+e_{3}=b_{1}-2b{2}
[/mm]
[mm] e_{1}-e_{2}-e_{3}=-b_{1}+4b{3}
[/mm]
Das sind 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten die ich nach [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3} [/mm] aufgelöst habe. Ist das so richtig?
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Hallo Tobias,
> Die alten und neuen Koordinaten dreier Vektoren x,y,z seien
> durch die Identitäten
>
> [mm]x=e_{1}+e_{2}+e_{3}=b_{1}-b{2}+b_{3}[/mm]
> [mm]y=e_{1}-e_{2}+e_{3}=b_{1}-2b{2}[/mm]
> [mm]z=e_{1}-e_{2}-e_{3}=-b_{1}+4b{3}[/mm]
>
> gegeben. Wie lautet der Basiswechsel?
>
> Hier ist die Problemstellung ja genau anders rum.
> Ich habe das so gelöst:
>
> [mm]e_{1}+e_{2}+e_{3}=b_{1}-b{2}+b_{3}[/mm]
> [mm]e_{1}-e_{2}+e_{3}=b_{1}-2b{2}[/mm]
> [mm]e_{1}-e_{2}-e_{3}=-b_{1}+4b{3}[/mm]
>
> Das sind 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten die ich nach
> [mm]b_{1}, b_{2}, b_{3}[/mm] aufgelöst habe. Ist das so richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, das ist ein guter Ansatz 
Wahlweise kannst du ja auch mal nach [mm] $e_i$ [/mm] auflösen, dann hast du den Basiswechsel andersherum
LG
schachuzipus
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